Правило вычитания суммы из числа

Чтобы вычесть сумму из числа достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

Это правило возможно, если сумма не больше числа, из которого вычитают.

а≥(b+c)

a-(b+c)=(a-b)-c

Рассмотрим теоретико-множественную интерпретацию:

Возьмём множество А, В, С, такие, что n(A)=a, n(B)=b, n(C)=c и В и С не пересекаются, множества В и С- подможество множества А.

Рассмотри левую часть:

1. Найдём сумму чисел b и c

b+c=n(Bu C)

2. Полученную сумму вычтем из числа А:

a-(b+c)=n((B u C)’ A)

Рассмотрим правую часть:

1. Найдём разность чисел а и b

a-b=n(B’A)

2. Из полученной разности вычтем число с

(a-b)-c=n (C’B’A)

Мы видим, что в результате получилось одинаково закрашенные области, значит мы получили равные множества, которые содержат одинаковые число элементов, что подтверждает верность данного правила.

12. Определение произведения целых неотрицательных чисел, его теоретико-множественный смысл. Законы умножения.

Произведением a ,b Є Zo называется число элементов декартова произведения множеств А,В таких, что n(A) = a, n(B) = b

a * b = n(A) * n(B) = (A x B), где n(A) = a, n(B) = b

Используя данное определение, мы можем найти произведение любых натуральных чисел.

Найдем пр-е чисел 3 и 2.

1) Возьмем 2 мн-ва A и B => n(A) = 3, n(B) = 2.

A = {a, b, c} B = {8, 9}

2) Найдем декартово произведение мн-в A и B.

A x B = {(a,8); (a,9); (b,8); (b,9); (c,8); (c,9)}

3) Подсчитаем число элементов дек. произведения.

n(A x B) = 6 => 3*2 = 6

В начальном курсе математики используется другое определение произведения.

Произведением a ,b Є Zo называется такое целое неотрицательное число, которое удовлетворяет следующим условиям:

1. Если b > 1, то a*b=a+a+a…. (b слагаемых)

Если b > 1, то произведение чисел a и b есть сумма b слагаемых, каждое из которых равно a

2. Если b = 1, то a*b = a

3. Если b = 0, то a*b = 0

Используя данное определение, мы также можем найти произведение чисел:

3*2=3+3=6

Действие, при помощи которого находят произведение, называется умножением.

Для действия умножения выполняются след. законы:

• Переместительный

(Ʉa ,b Є Z₀) a * b = b * a

Для Ʉa ,b Є Zo выполняется равенство: произведение чисел a и b равно произведению чисел b и a.

• Сочетательный

(Ʉa, b, c Є Zo) (a * b)* с = a *(b * c)

Для Ʉa, b, c Є Zo выполняется равенство: произведение произведения чисел a и b и числа с равно произведению числа а и произведения чисел b и с

13. Дистрибутивные (распределительные) законы умножения относительно сложения и вычитания целых неотрицательных чисел. Закон умножения относительно вычитания

(V, a,b,c принадлеж. Z₀ , a > или = b) (a-b) * c = a * c – b * c

Для любых целых неотрицательных чисел a,b,c при условии, что a > либо = b, выполняется следующее равенство:

«Произведение разности чисел а и b и числа с равно разности произведений чисел a и с и чисел b и с»

Рассмотрим ТМ интерпретацию:

Пусть а=3, b=1, с=2

Возьмем мн-ва A, B, и C таких, что n(A)=3, n(B)=1, n(C)=2 и мн-во B является подмножеством мн-ва А.

A = {a, b, c}, B = {b}, C = {3, 5}

Рассмотрим левую часть:

1) Найдем разность чисел а и b. Она равна числу элементов дополнения множества B до множества А.

а – b = n(B'_A)

В'_A = {a,c}

n(В'_A) = 2

2) Полученную разность умножим на число с. Произведение равно числу элементов декартова произведения дополнения множества B до множества А и множества С.

(a – d) * c = n(B'_A x C)

B'_A x C = {(a,3), (c,3), (a,5), (c,5)}

n( B'_A x C) = 4

Рассмотрим правую часть:

1. Найдем произведение чисел а и с. Оно равно числу элементов декартова произведения множеств A и С.

a * c = n(A x C)

A x C = {(a,3), (c,3), (b,3), (a,5), (b,5), (c,5)}

n(A x C) = 6

2. Найдем произведение чисел b и с. Оно равно числу декартова произведения множеств В и С.

b*c = n(BxC)

BxC = {(b,3); (b,5)}

n(BxC) = 2

3. Найдем разность полученных произведений. Она равна числу элементов дополнения декартова произведения мн-в В и С до декартова произведения мн-в А и С.

a * c – b * c = n((B x C)'_{A x C})

(B x C)'_{A x C} = {(a,3), (c,3), (a,5), (c,5)}

n((B x C)'_{A x C}) = 4

Мы видим, что в результате выполненных действий в левой и правой частях, мы получаем равные множества, которые содержат одинаковое число элементов, что подтверждает верность данного закона.

Закон умножения относительно сложения.

(V a, b, c ∈ Z₀) (a+b)*c = a*c + b*c

Для любых целых неотрицательных чисел a, b, и c выполняется равенство. Произведение суммы чисел a и b и числа c равно сумме произведения чисел a и c и чисел b и c.

Рассмотрим теоретико-множественную интерпретацию:

Пусть a=3, b=1, c=2

Возьмём 3 множества A, B и C таких, что n(A)=3, n(B)=1, n(C)=2 и множества A и B не пересекаются (по определению суммы).

A={a, b, c}, B={m}, C={3, 5}

Рассмотрим левую часть:

1. Найдем сумму чисел a и b. Она равна числу:

a+b = n(AUB)

AUB = {a, b, c, m}

n(AUB) = n

2. Полученную сумму умножим на число c. Произведение равно числу элементов декартова произведения объединения множеств A и B и множества C.

(a+b)*c = n((AUB)xC)

(AUB)xC = {(a, 3); (a, 5); (b, 3); (b, 5); (c, 3); (c, 5); (m, 3); (m, 5)}

n((AUB)xC) = 8

Рассмотрим правую часть

1. Найдем произведение чисел a и c. Оно равно числу эл-тов декартова произведения множеств A и C.

a*c = n(AxC)

AxC = {(a, 3); (a, 5); (b, 3); (b, 5); (c, 3); (c, 5)}

n(AxC) = 6

2. Найдем произведение числ b и c. Оно равно числу эл-тов декартова произведения множеств B и C.

b*c = n(BxC)

BxC = {(m, 3); (m, 5)}

n(BxC) = 2

3. Найдем сумму получившихся произведений. Она равна числу эл-тов объединения декартова произведений множеств A и C и множеств B и C.

a*c + b*c = n((AxC)U(BxC))

(AxC)U(BxC) = {(a, 3); (a, 5); (b, 3); (b, 5); (c, 3); (c, 5); (m, 3); (m, 5)}

n((AxC)U(BxC)) = 8

Мы видим, что в результате выполненных действий в левой и правой частях, мы получили равные множества, содержащие одинаковое количество элементов, что подтверждает верность данного закона.