10. Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел. Определение разности через сумму. Теорема о существовании разности.

Разностью двух целых неотрицательных чисел а и b называется число элементов дополнения множества B до A, таких что n(А) = А, n(B) = B и В является подмножеством А.

а – в = n(A) – n(B) = n(B'_A), где n(A) = a, n(B) = b и В Ϲ А.

Используя данное определение, мы можем найти разность целых неотрицательных чисел. 5 – 3

Возьмем 2 множества A и B, таких что n(А) = a, n(B) = b и В является подмножеством А.  А = {а, в, с, d, e} B = {а, в, с}

Найдем дополнение B до A: В'_A = {d, e} n(B'_A) = 2 => 5 – 3 = 2

Действие, при помощи которого находят разность, называется вычитанием.

Действие вычитания и сложения взаимосвязаны, что находит свое отражение в определении разности через сумму.

Разностью целых неотрицательных чисел а и b называется такое целое неотрицательное число с, которое при сложении с b дает а.

B множестве целых неотрицательных чисел мы не всегда можем найти разность. Условия существования разности:

Разность существует тогда и только тогда, когда а ≥ b. (а – b) сущ. => а ≥ b.

11. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа (теоретико-множественная интерпретация) Правило вычитания числа из суммы

Для того чтобы вычесть число из суммы, достаточно это число вычесть из одного из слагаемых суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

Это правило возможно, если хотя бы 1 из слагаемых суммы не меньше числа, которое вычитают.

При этом возможны различные случаи:

1) Если а > или = с, то для того, чтобы вычесть число c из суммы чисел a и b, достаточно число c вычесть из a и к полученному результату прибавить b.

(a + b) – c = (a – c) + b

2) Если b > или = c, то для того, чтобы вычесть число c из суммы чисел a и b, достаточно число c вычесть из b и полученный результат прибавить к a.

(a + b) – c = a + (b – c)

3) Если a > или = c и b > или = c, то поступаем либо как в случае 1, либо – в 2.

Рассмотрим теоретико-множественную интерпретацию для 1-го случая.

Возьмем 3 мн-ва A, B и C такие, что n(A) = a, n(B) = b, n(C) = c и мн-ва A и B не пересекаются (по определению суммы) и C – подмножество A (по определению разности)

Рассмотрим левую часть:

1) Найдем сумму чисел a и b. Она равна числу элементов объединения множеств A и B.

a + b = n(AUB)

2) Из полученной суммы вычтем число c. Разность равна числу эл-тов дополнения C до AUB.

(a + b) – c = n(C’_AUB)

Рассмотрим правую часть:

1) Найдем разность чисел a и c. Она равна числу эл-тов дополнения мн-ва C до мн-ва A.

a – c = n(C’_A)

2) К полученной разности прибавим число b. Сумма равна числу эл-тов объединения дополнения мн-ва C до мн-ва A и мн-ва B.

(a – c) + b = n(C’_A UB)

Мы видим, что в результате получились одинаковые закрашенные области, значит мы получили равные мн-ва, которые содержат одинаковое число эл-тов, что подтверждает верность данного правила.