8. Тмс натурального числа и нуля
Возьмем мн-во A и подсчитаем число его эл-тов
A = {a, b, c, d, e,}
Мы можем при счете использовать как количественные слова числительные (один, два, три…), так и порядковые слова-числительные (первый, второй…). И в том и в другом случае при счете мы используем мн-во натур. чисел, которые назыв. отрезком натурального ряда. (например: N5 = {1, 2, 3, 4, 5})
Отрезком натурально ряда Na называется множество натуральных чисел не превосходящих числа а (меньше или равно а) и удовлетворяющих след. условиям:
1) Первый элемент всегда 1
2) Остальные элементы непосредственно следуют один за другим и получаются из предыдущего путем прибавления 1
Счетом элементов множества A называется установление взаимнооднозначного соответствия между множеством и отрезком натурального ряда.
Возьмем 3 мн-ва A, B, и C, природа элементов которых различна.
A = {a, b, c} B = {, , } C = {1, 2, 3}
Мы видим, что мн-ва конечные и они содержат одинаковое количество эл-тов. Следовательно, эти мн-ва равномощные.
Отношение равномощности обладает свойствами:
1) Рефлекс. (мн-во А равномощно мн-ву А)
2) Симметр. (Если A относится к В, то В относится к А)
3) Транзит. (если А относ. к В, В относ. к С, то А относ. к С)
Следовательно, отношение равномощности явл. отношением эквивалентности => отношение равномощности порождает разбиение множества всех конечных множеств на попарно непересекающиеся подмн-ва или классы.
Три мн-ва А, В и С попадут в один класс равномощных мн-в.
Количественным натуральным числом называется общее свойство класса конечных равномощных множеств. Каждому натуральному числу соответствует только один класс и наоборот.
Число 0 (нуль) соответствует пустому множеству, которое не принадлежит ни одному классу конечных равномощных множеств, поэтому число нуль не является натуральным числом.
Если мы к множеству натуральных чисел добавим число нуль, то получим уже другое множество целых неотрицательных чисел.
Множеством целых не отрицательных чисел называется объединение множества натуральных чисел и множества содержащее число 0.
Для любых целых неотрицательных чисел выполняется одно из утверждений: либо а = в, либо а не равно в
Число а больше числа в, если в множестве а мы можем выделить собственное подмножество, равномощное множеству в.
9. Теоретико-множественный смысл суммы целых неотрицательных чисел. Законы сложения
Сума двух целых неотрицательных чисел называется число элементов объединения множеств А и В, такие что n(А) = a, n(В) = b и множества А и В не пересекаются
a + b = n(A) + n(B) = n(A U B), где n(A), n(B) = b и A B = Ø
Данное определение позволяет нам найти сумму любых целых неотрицательных чисел, Например 3 + 2
Возьмем два множества А и В, такие что n(A)=3, n(B)=2, A B = Ø
A = {a b c}
B = {b m}
Найдем объединение этих множеств и подсчитаем число элементов A U B={a b c d m}
n(A U B) = 5, следовательно 3 + 2 = 5
Действие, при помощи которого находят сумму, называется сложением.
Для действия сложения выполняется следующий закон или свойство:
Переместительный
(V а, b Є Z0) a + b = b + a
Для любых целых неотрицательных чисел а и b выполняется равенство: «сумма чисел a и b равна сумме чисел b и a»
Сочетательный
(V a, b, c Є Z0) (a + b)+ c = a + (b + c)
Для любых целых неотрицательных чисел a, b, c выполняется равенство: «сумма суммы чисел a и b и числа равна сумме числа a и суммы чисел b и c»