- •1. Особенности математических понятий. Объем и содержание понятия. Определение понятий. Структура определения понятия через род и видовое отличие.
- •3. Понятие бинарного отношения между элементами одного множества. Способы задания отношений. Свойства отношений.
- •4. Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на попарно-непересекающиеся подмножества или классы. Отношение порядка, его виды.
- •5. Понятие соответствия между элементами двух множеств. Способы задания соответствий. Соответствие обратное данному. Взаимно-однозначные соответствия. Равномощные множества
- •6. Определение числовой функции. Способы задания функции. Прямая пропорциональность, ее свойства и график.
- •7. Определение числовой функции. Способы задания функции. Обратная пропорциональность, ее свойства и график.
- •8. Тмс натурального числа и нуля
- •9. Теоретико-множественный смысл суммы целых неотрицательных чисел. Законы сложения
- •10. Теоретико-множественный смысл разности целых неотрицательных чисел. Определение разности через сумму. Теорема о существовании разности.
- •11. Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа (теоретико-множественная интерпретация) Правило вычитания числа из суммы
- •Правило вычитания суммы из числа
- •12. Определение произведения целых неотрицательных чисел, его теоретико-множественный смысл. Законы умножения.
- •13. Дистрибутивные (распределительные) законы умножения относительно сложения и вычитания целых неотрицательных чисел. Закон умножения относительно вычитания
- •14. Теоретико-множественный смысл частного целого неотрицательного числа и натурального. Определение частного через произведение. Условие существования частного.
- •Два типа задач
- •2)Деление на равные части:
- •15. Определение частного через произведение. Невозможность деления на нуль (с доказательством).
- •16. Правила деления суммы на число и числа на произведение (доказательство или теоретико-множественная интерпретация одного из них) Правила деления
- •Правила деления числа на произведение
- •17. Теоретико-множественный смысл деления с остатком на множестве целых неотрицательных чисел.
- •18. Понятие числового выражения, числового равенства и неравенства. Основные свойства истинных числовых равенств и неравенств.
- •19. Понятие выражения с переменной и уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений.
- •20. Позиционные и непозиционные системы счисления. Особенности десятичной системы счисления. Сравнение чисел в десятичной системе счисления.
- •21. Алгоритм сложения многозначных чисел, теоретические положения, лежащие в его основе
- •22. Алгоритм вычитания многозначных чисел, теоретические положения, лежащие в его основе.
- •23. Алгоритм умножения многозначных чисел, теоретические положения, лежащие в его основе.
- •24. Натуральное число как результат измерения величин. Смысл сложения и умножения натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
- •Сложение
- •Умножение
- •25. Натуральное число как результат измерения величин. Смысл вычитания и деления натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.
- •Вычитание
- •Деление
- •26. Понятие длины отрезка и ее измерения. Свойства длины отрезков.
- •27. Понятия площади плоской фигуры и ее измерения. Свойства численных значений площадей. Равновеликие фигуры.
- •28. Понятие дроби и положительного рационального числа.
3. Понятие бинарного отношения между элементами одного множества. Способы задания отношений. Свойства отношений.
Бинарным отношением на множество X называется всякое подмножество декартово произведения множества Х на множество Х.
X = {2,4,6,8}
R: «х не больше у»
R: «х больше или равно (значок) у»
R = {(2,2); (2,4); (2,6); (2,8); (4,4); (4,6); (4,8); (6,6); (6,8); (8,8)}
Таким образом, отношение может быть задано разными способами:
Указывают все пары элементов, находящиеся в данном отношении, при этом возможны разные формы:
Перечисляют все пары элементов.
В виде графа.
В виде графика.
Указывают характеристические свойства всех пар элементов (приводим пример из лекции – построение графа)
Свойства отношений.
Отношения могут обладать следующими свойствами:
Свойство рефлексивности. Отношение R на множество Х рефлексивно, если каждый элемент множества Х находится в отношении R с самим собой (приводим пример из лекции).
Свойство антирефлексивности.
Отношение R на множестве Х антирефлексивно , если не один элемент множества Х не находится в отношении R с самим собой. (приводим пример из лекции).
Свойство симметричности.
Отношение R на множестве Х симметрично, если из того что Х находится в отношении R с У следует, что У находится в отношении R c X. (приводим пример из лекции).
Свойство антисимметричности.
Отношение R на множестве Х антисимметрично, если для различных элементов Х и У из того, что Х находится в отношении R с У следует, что У в отношении R c X не находится. (приводим пример из лекции).
Свойство транзитивности.
Отношение R на множестве Х транзитивно, если из того, что элемнт Х находится в отношении R с элементом У, а У находится в отношении с R с элементом Z следует, что Х находится в отношении R с элементом Z. (приводим пример из лекции).
4. Отношение эквивалентности и его связь с разбиением множества на попарно-непересекающиеся подмножества или классы. Отношение порядка, его виды.
Отношением эквивалентности называется отношение, одновременно обладающее свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Для отношения эквивалентности выполняется следующее утверждение: если на множестве задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно непересекающиеся подмножества или классы.
Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение порождает разбиение множества на классы, то это отношение называется отношением эквивалентности.(приводим примеры из лекции).
Отношение порядка, его виды.
Отношением порядка называется отношение, обладающее одновременно свойствами антисимметричности и транзитивности (приводим пример из лекции).
Мы видим, что все 3 отношения обладают свойствами антисимметричности и транзитивности, т.е. являются отношением порядка. Отношение порядка бывает строгим, не строгим, линейным и частичным.
Если отношение порядка обладает свойством рефлексивности, то порядок не строгий.
Если свойством антирефлексивности – то строгий.
Если любые 2 элемента находятся в отношении порядка, то порядок линейный.
Если это условие нарушается, то порядок частичный.