28. Понятие дроби и положительного рационального числа.

Возьмем произвольный отрезок а и измерим его длину.

a

Для этого выберем единичный отрезок е длиной Е и будем его откладывать от одного конца отрезка до другого.

Мы видим, что единичный отрезок е уложился в отрезке а 3 раза, и осталась еще часть отрезка а, которая меньше отрезка е. Т.е. длина отрезка 3E<а<4E, т.е. длину отрезка а мы не можем выразить натуральным числом. Но если мы отрезок е разобьем на равные части, тогда в отрезке а уложится 13 отрезков, равных 4-ой части отрезка е, т.е. 4-ая часть отрезка е укладывается в отрезке а 13 раз, значит, для записи длины отрезка а мы должны использовать 2 натуральных числа 13 и 4, тогда длину отрезка а мы можем записать так:

A= E

Символ называется дробью.

13 – числитель, 4 – знаменатель.

Если числитель меньше знаменателя, то дробь называется правильной.

Если числитель ≥ знаменателя, то дробь называется неправильной.

В нашем примере единичный отрезок е мы разбили на 4 равные части, но это не единственный вариант разбиения; мы могли бы разбить единичный отрезок е на 4, 8, 16. И тогда бы мы получили неправильные дроби , , .

Из свойства длины отрезка мы знаем, что длина отрезка может выражаться только одним числом при выбранной единице длины, а у нас получилось бесконечное количество, но при этом противоречие не происходит, потому что все записанные нами дроби будут равны.

И в итоге мы получаем только одно положительное рациональное число.

Положительным рациональным числом называется класс равных дробей, а каждая дробь этого класса есть запись этого числа.

Понятия «дробь» и «положительное рациональное число» не одно и то же.

Так, например:

, ,

Записано 3 дроби, но только 2 рациональных числа:

p=

q= ,