25. Натуральное число как результат измерения величин. Смысл вычитания и деления натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Натуральное число появилось не только как результат потребности счета предметов, но и как результат потребности измерения величин.

Для того, чтобы измерить величину, необходимо выбрать единицу величины. В результате измерения величины мы получили число, которые называется численным значением величины при выбранной единице измерения.

5 кг – величина (масса)

5 – численное значение величины

кг – единица массы.

Меняя единицы измерения, масса не меняется.

Рассмотрим смысл арифметических действий над натуральными числами, полученных в результате измерения величин, на примере длины отрезка.

Вычитание

Пусть отрезок а состоит из отрезков в и с

b c

a

a = b+c

Тогда, чтобы получить отрезок b, мы из отрезка a вычитаем отр. c.

b = a – c

Измерим длины отрезков a и c. Возьмем для этого единичный отрезок e = E.

В результате измерения длины отрезка a, мы получим (по договоренности) натуральное число p, кот. явл. численным значением или мерой длины отрезка a при единице длины E.

p = m_E(а)

В рез-те измерения длины отрезка e мы получим (по договоренности)

натур. число q, кот. является численным значением или мерой длины отрезка c

при единице длины E.

Это означает, что единичный отрезок e уложился в отрезке a p раз, а в отрезке c q раз.

Тогда в отрезке b единичный отрезок e уложится (p – q) раз, что означает, что разность натур. чисел p и q явл. численным значением или мерой отрезка b при единице длины E.

(p-q) = m_E(b)

Таким образом, смысла вычитания натуральных чисел, полученных в результате измерения величин, заключается в том, что их разность явл. численным значением величины, которая равна разности измеряемых величин.

Деление

Деление натур. чисел, полученных в рез-те измерения величин, отражает переход к новой, более крупной единице измерения.

Рассмотрим это утверждение на примере измерения длины отрезка a.

Возьмем произв. отрезок а и измерим его длину. Для этого выберем единичный отрезок e длиной E.

В рез-те измерения длины отрезка a, мы получим натур. число х, кот. явл. численным значением или мерой длины отрезка a при единице длины E.

x = m_E(а)

А = x*E

Возьмем новый единичный отрезок Е₁, больший Е, и измерим длину отрезка e₁ первоначальной единицей длины Е.

В рез-те измерения мы получим натур. число y, кот. явл. (по договор-ти) численным значением или мерой длины отрезка e₁ при единице длины Е.

E₁ = y*Е

Е = ¹/_y * E₁

Вычисл. длину отрезка a при новой единице длины E₁.

А = х*Е = х*(^1/_у * Е₁) = (х * ¹/_y * Е₁) = ^x/_y * Е₁

Мы видим, что частное натур. чисел x и y явл. численным значением длины того же отрезка a при новой более крупной единице длины Е₁.

Таким образом смысл деления натур. чисел, полученных в рез. измерения величин, заключается в том, что их частное является численным значением той же величины при новой более крупной единице измерения.

Например:

слон = 12000 кг

E = 1 кг

E₁ = 1 т

1 т = 1000 кг => 1 кг = ¹/₁₀₀₀ т

12000 кг = 12000 (¹/₁₀₀₀ т) = ¹²⁰⁰⁰/₁₀₀₀ т