24. Натуральное число как результат измерения величин. Смысл сложения и умножения натуральных чисел, полученных в результате измерения величин.

Натуральное число появилось не только как результат потребности счета предметов, но и как результат потребности измерения величин.

Для того, чтобы измерить величину, необходимо выбрать единицу величины. В результате измерения величины мы получили число, которые называется численным значением величины при выбранной единице измерения.

5 кг – величина (масса)

5 – численное значение величины

кг – единица массы.

Меняя единицы измерения, масса не меняется.

Рассмотрим смысл арифметических действий над натуральными числами, полученных в результате измерения величин, на примере длины отрезка.

Сложение

Пусть отрезок a состоит из отрезков b и c.

b c

a

a = b + c

Измерим длины отрезков b и c. Для этого возьмем единичный отрезок e длиной E (произвольно выбранный).

В результате измерения длины отрезка b мы получим (по договоренности) натуральное число n, которое называется численным значение или мерой длины отрезка b при единице длины E.

n = m_E(b)

n = 5

В результате измерения длины отрезка c мы получим (по договоренности) натуральное число k, которое является численным значением или мерой длины отрезка c при единице длины E.

k = m_E(c)

k = 4

Это значит, что единичный отрезок e уложится в отрезке b n раз, а в отрезке c – k раз. Значит, в отрезке a он уложится (n+k) раз. Это значит, что сумма натуральных чисел n и k является численным значением или мерой длины отрезка a при единице длины E.

Таким образом, смысл сложения натуральных чисел, полученных в результате измерения величин, заключается в том, что их суммы являются численным значением величины, которая равна сумме измеряемых величин.

Умножение

Умножение натуральных чисел, полученных в результате измерения величин, отражает переход к новой, более мелкой единице измерения.

Рассмотрим данное утверждение на примере измерения длины отрезка.

Возьмем произвольный отрезок a и измерим его длину.

e

a

Для этого выбираем единичный отрезок e длиной E.

В результате измерения длины отрезка a мы получили (по договоренности) натуральное число f = m_E(a), которое является численным значением или мерой длины отрезка a при единице длины E.

Это значит, что длина отрезка a равна:

A = f * E => f = 11

Выберем новую единицу длины E₁ меньше E и измерим ею длину первоначального единичного отрезка e.

e = 2

В результате измерения мы получим натуральное число s, которое является численным значением или мерой длины отрезка e при единице длины E₁.

s = m_E1(e)

E = s * E₁

Вычислим длину отрезка a при новой единице длины E₁.

A = f * E = f * (s * E₁) =

По сочетательному свойству умножения перегруппируем множители. Получим:

= (f * s) * E₁

Мы видим, что произведение натуральных чисел f и s является численным значением длины того же отрезка a при новой более мелкой единице длины E₁.

Таким образом, смысл умножения натуральных чисел, полученных в результате измерения величин, заключается в том, что их произведение является численным значением той же величины при новой более мелкой единице измерения.