23. Алгоритм умножения многозначных чисел, теоретические положения, лежащие в его основе.

Если числа a и b однозначные, то, чтобы найти их произведение, достаточно подсчитать число элементов декартова произведения множеств A и B таких, что n(A)=a, n(B)=b (численность мн-в) или можно найти произведение, заменив умножение сложением одинаковых слагаемых. Но, чтобы каждый раз не прибегать к таким приемам, все получаемые результаты записывают в таблицу умножения однозначных чисел.

Если числа a и b многозначные, то их произведение находят письменно, записывая пример в столбик.

Рассмотрим, какие теоретические положения лежат в основе умножения многозначных чисел, на конкретном примере:

324*286 =

- Представим второй множитель суммой степеней числа 10 с коэффициентом:

= 324*(2*10²+8*10+6) =

- По распределительному закону умножения относительно сложения раскроем скобки:

= 324*(2*10²)+324*(8*10)+324*6 =

- По сочетательному свойству перегруппируем множители:

= (324*2)*10²+(324*8)*10+324*6

- Мы видим, что умножение однозначных чисел сводится к умножению многозначного числа на однозначные числа и на степень числа 10.

Установим, какие теоретические положения лежат в основе умножения многозначного числа на однозначное:

326*2 =

- Представим число 326 суммой степеней числа 10 с коэффициентами:

= (3*10²+2*10+6)*2 =

- По распределительному свойству умножения относительно сложения раскроем скобки:

= (3*10²)*2+(2*10)*2+6*2 =

- По сочетательному, переместительному и опять сочетательному свойствам получаем:

= (3*2)*10²+(2*2)*10+6*2 =

- Мы видим, что умножение многозначных чисел на однозначные сводится к умножению однозначных чисел. Найдем их по таблице умножения однозначных чисел:

= 6*10²+4*10+12 =

- Полученная запись не является способом записи чисел в ДСС, т.к. ни один коэффициент не может быть больше 9, а у нас число 12, поэтому выполним дополнительные образования:

= 6*10²+4*10+(1*10+2) =

- По сочетательному свойству сложения перегруппируем слагаемые. По распределительному закону умножения относительно сложения вынесем 10 за скобку:

= 6*10²+(4*10+1*10)+2 = 6*10²+(4+1)+10+2 = 6*10²+5*10+2 = 652

Таким образом, в основе алгоритма умножения многозначных чисел лежат следующие теоретические положения:

1. Способ записи чисел в ДСС

2. Распределительный закон умножения относительно сложения

3. Сочетательное свойство умножения

4. Переместительное свойство умножения

5. Таблица умножения однозначных чисел

6. Сочетательное свойство сложения

7. Таблица сложения однозначных чисел

Получаем алгоритм умножения:

326*286

Пишу второй множитель под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

Умножаем первый множитель на однозначные числа, записанные цифрами соответствующих разрядов второго множителя, при этом получаем неполные произведения, которые начинаем подписывать под соответствующим разрядом (каждый раз сдвигая влево на 1 разряд):

326

*256

1956

2608

652

Если при умножении однозначных чисел получится число не больше 9, то записываем его под соответствующим разрядом;

Если получится число больше 9, то представляем его как 10q + C₀ , где C₀ – однозначное число, которое записывается под соответствующим разрядом, а q единиц прибавляем к единицам следующего разряда после их умножения. Складываем неполные произведения.