19. Понятие выражения с переменной и уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений.

Пусть f(x) и g(x) — 2 выражения с переменной и областью определения х, тогда высказывательная форма или предикат всегда f(x) = g(x), - уравнение с одной переменной.

Значение переменной х из множества Х, при котором уравнение обращается в истинное числовое равенство – корень уравнения или его решение. Решить уравнение — найти множество его корней.

Ур-ия равносильны, если множества их решений совпадают.

х*(х-1)*(х-3)=0

{0;1;3} <= неравносильное уравнение

(х-1)(х-2)(х-3)=0

{1;2;3} <= неравносильное уравнение

В процессе решения уравнения выполняются различные преобразования, в результате которых получаются новые уравнения.

Важно, чтобы при этом новые уравнения были равносильны данному уравнению, в противном случае можно либо получить посторонние корни, либо потерять корни.

Существуют теоремы о равносильности уравнений:

1. Если к обеим частям уравнения с областью определения х прибавить одно и то же выражение с переменной, определенное на том же множестве, то получим уравнение равносильное данному:

f(x) + h(x) = g(x) + h(x)

Следствие 1:

Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же число, то получится уравнение равносильное данному

Следствие 2:

Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получится уравнение равносильное данному.

2. Если обе части уравнения с областью определения х умножить на одно и то же выражение с переменной, которое определено на том же множестве и не обращается на нем в «0», то получится уравнение равносильное данному:

f(x) ∙ h(x) = g(x) ∙ h(x)

h(x) ≠ 0

Следствие:

Если обе части уравнения умножить/разделить на одно и то же число, отличное от «0», то получится уравнение равносильное данному.

20. Позиционные и непозиционные системы счисления. Особенности десятичной системы счисления. Сравнение чисел в десятичной системе счисления.

Десятичной системой счисления называется язык для наименований чисел, записи чисел и выполнение действий над числами.

Системой счисления называют десятичной, т.к. для записи чисел мы используем 10 знаков.

Возьмем число 6348 – это число содержит 6 тысяч единиц, 3 сотни единиц, 40 десятков единиц , 8 единиц. Его можно представить суммой степеней числа 10 с коэффициентом.

6348 = 6* +3* +4*10+8

В начальном курсе математики учащиеся представляют число суммой разрядных слагаемых.

6348 = 6000+300+40+8

В общем виде любое число в ДСС можно представить суммой степеней числа 10 с коэффициентами.

Х = a_n * + a_n-1 * + a_n-2 * +… a₂ * + a₁ * 10+ a₀

Где а_n, a_n-1, a_n-2, a₂, a₁, a₀ – коэффициенты, которые могут принимать любые значения от 0-9, причем а_n ≠ 0

Для того чтобы выполнить краткую запись числа в ДСС, записывают только коэффициенты.

Х= a_n a_n-1 a_n-2 … a₂ a₁ a₀

(ab = 10a + b)

ДСС имеет ряд особенностей.

1) ДСС является позиционной системой, т.е. значение каждой цифры зависит от того места, позицию которую она занимает. Например:

235 – 2 сотни

628 – 2 десятка

912 – 2 единицы

2) 1, 10, 10², 10³… являются разрядными единицами.

10 единиц предыдущего разряда образует 1 единицу следующего разряда

3) Первые 3 разряда, начиная справа, образует класс единиц, следующие 3 разряда – класс тысяч, следующие 3 разряда – миллионов.

4) Удобство ДСС заключается еще и в том, что для названия чисел от 0 до миллиона требуется всего 16 новых слов.

5) В ДСС сравнивают числа

Возьмем 2 числа в ДСС:

Х = a_n * 10ⁿ + a _n-1 * 10^n-1 +… a₂ * 10₂ + а₁ * 10+ a₀

Y = b_m * 10^m + b_m-1 * 10^m-1 + …b₂ * 10² + b₁ * 10 + b₀

х<y, если выполняется одно из условий:

1. n<m

2. n=m, но а_n<b_m

3. n=m, а_n=b_m, a_n-1=b_m-1 … а_к<b_p