17. Теоретико-множественный смысл деления с остатком на множестве целых неотрицательных чисел.
Разделить с остатком целое неотрицательное число a на натуральное число b, это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что выполняется равенство:
a
= bq
+ r,
причем 0
r
< b
a – делимое
b – делитель
q – неполное частное
r – остаток.
Для деления с остатком выполняется следующее утверждение:
Для любого целого неотрицательного числа a и натурального числа b всегда находится пара чисел q и r, для которых выполняется следующее утверждение:
a = bq + r, причем 0 r < b
Пара чисел q и r не только существует, но и единственная.
Деление с остатком выполняется всегда, даже если a < b, например: 2 : 5 = 0 (ост. 4)
Рассмотрим ТМС деления с остатком:
Разделим целое неотрицательное число a на натуральное число b, получим неполное частное q и ост. r.
При делении q на b мн-во A (n(A)=a) разбивается на попарно непересекающиеся подмножества или классы, причем q классов содержат по b элементов, и выделяется еще один класс, который содержит r элементов, т.е. q = AUA2UA3U…UAqUX.
Т.к. подмножества попарно не пересекаются, то, по определению суммы получаем, что численность мн-ва A равна сумме численности всех подмножеств, т.е. n(A) = n(A1) + n(A2) + n(A3) + … + n(Aq) + n(X) (подставим значения).
Таким образом, ТМС заключается в том, что при делении мн-во A разбивается на классы, причем выделяется q равномощных классов по b элементов в каждом, и выделяется еще одно подмножество, которое содержит r элементов.
1) Проведем исследование и обоснуем причину того, что в определении деления с остатком сказано, что 0 r < b.
Если r = 0, то получим деление без остатка.
2) Выясним, почему r не может быть равен b.
Если r = b, то опять получаем деление без остатка, но и частное будет q + 1.
Если r > b, то во множестве X мы можем выделить подмножества, которые содержат b элементов, и присоединить их к первым q-подмножествам, а в мн-ве X остается элементов меньше, чем b.
18. Понятие числового выражения, числового равенства и неравенства. Основные свойства истинных числовых равенств и неравенств.
Числовым выражением называется запись, сконструированная из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Принято также считать, что любое число тоже является числовым выражением (чв)
ЧВ называются в соответствии с тем действием, которое выполняется последним.
Если выполнить все действия в выражении, то мы получим число, которое называется численным значением выражения.
В зависимости от того, в каком множестве рассматривается выражение, оно может иметь значение и может не иметь.
Например: 5 - 9 не имеет значение в мн-ве N и Z0
1.Если 2 чв соединить знаком =, то получим числовое равенство
С позиции математич. логики, чр является высказыванием
Рассмотрим основные свойства истинных числовых равенств (ичр)
1) если к обеим частям ичр прибавить одно и тоже чв, имеющее значение, то получится ичр.
2) если обе части ичр умножить на одно и тоже чв,имеющее значение ,то получится ичр.
2.Если 2 чв соединить знаком > или < ,то получится числовое неравенство
С позиции матем. логики, чн является высказыванием
Свойства ичн:
1) если к обеим частям ичн прибавить одно и тоже чв, имеющее значение,то получится ичн
2) если обе части ичн умножить на одно и тоже чв, имеющее положительное значение,то получится ичн.
3) если обе части ичн умножить на одно и тоже чв, принимающее отрицательное значение и поменять знак на противоположный, то порлучится ичн