1. Особенности математических понятий. Объем и содержание понятия. Определение понятий. Структура определения понятия через род и видовое отличие.

Термин "понятие" обычно применяется для обозначения мысленного образа некоторого класса вещей, процессов, отношений объективной реальности или нашего сознания. Каждое понятие объединяет в себе класс объектов (вещей, отношений) - объем этого понятия - и характеристическое свойство, присущее всем объектам этого класса, и только им, - содержание этого понятия. Например, понятие "треугольник" соединяет в себе класс. всевозможных треугольников (объем этого понятия) и характеристическое свойство - наличие трех сторон, трех вершин, трех углов (содержание понятия); понятие "уравнение" соединяет в себе класс всевозможных уравнений (объем понятия) и характеристическое свойство - равенство, содержащее одну или несколько переменных (содержание понятия).

Понятие строится по следующей схеме:

объект  математический объект  математическое понятие

Математические объекты в реальном мире не существуют, они рождаются в сознании человека, созданы его умом. Они идеальны.

В математике мы работаем с моделями математических объектов.

Всякий мат. объект обладает свойствами, которые могут быть существенными и несущественными

Существенные свойства – это свойства, которыми обладает данный объект и без которых он не может существовать.

Напр.: «квадрат»

Сущ. свойства: 4 угла, 4 стороны, все стороны равны, все углы прямые, диагонали взаимно перпендикулярны и равны.

Несущественные свойства – свойства, которые могут быть присущи объекту и без которых он может существовать.

Напр.: размер стороны, цвет, расположение в пространстве.

Матем. объекты могут обладать такими свойствами, которыми ни один реальный объект не обладает.

Напр.: прямая бесконечна, у прямой нет толщины, точка не имеет размера.

Когда мы изучим все сущ. свойства объекта, мы получим матем. понятие. Всякое понятие обладает объемом и содержанием.

Объем понятия (V) – это множество всех объектов, называемых одним термином (бесконечное понятие)

Содержание понятий (S) – это множество всех сущ. свойств, присущих одному объекту.

Между объемом и содержанием устанавливается взаимосвязь:

С УВЕЛИЧЕНИЕМ СОДЕРЖАНИЯ ОБЪЕМ ПОНЯТИЯ УМЕНЬШАЕТСЯ.

Напр.:

1 2 3 4 5

S₁ – иметь прямые углы.

V₁ – {1, 3, 4, 5}

S₂: S1 + все стороны равны

V₂ {5}

S₂ > S₁, V₂ < V₁.

Понятиям дают определения.

Определение – это предложение, которое раскрывает суть данного понятия или термина.

Определения бывают явными и неявными

Неявное определение: контекстуальные и остенсивные.

Контекстуальные – суть данного понятия раскрывается через контекст, через анализ описываемой ситуации.

Остенсивные – определяются путем показа, демонстрации с последующим обсуждением сущ. свойств.

Явное определение – имеет форму равенства, определяемого и определяющего понятий.

определяемое = родовое + видовые

понятие понятие отличия

Определяемое и определяющее понятия должны находиться в отношении рода и вида.

a – родовое по отношению к понятию b, а понятие b – видовое по отношению к понятию a, если объем понятия b является подмножеством понятия a.

Va

Vb Vb Ϲ Va

Напр.: квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определяемое пон.: квадрат;

Родовое: прямоугольник;

Видовые различия: все стороны равны;

Определяющее: прямоугольник, у которого все стороны равны.

Требования к определениям:

1. Определение должно быть соразмерным (Vопределяемого = V определяющего)

Напр.: V₁=V₂

Вертикальными углами называются равные углы.

2. Не должно быть недостаточности.

Напр.: Квадратом называется четырёхугольник, у которого все стороны равны.

3. Не должно быть избыточности

Напр.: Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все углы равны и равны 60^о

4. Не должно быть замкнутого круга.

Напр.: Касательная к окружности называется прямой, которая касается круга.

2. Понятие высказывания и высказывательной формы (предиката). Смысл слов "и", "или" в составных высказываниях. Высказывания с кванторами. Правила построения отрицания высказываний различной структуры.

Предикатом заданном на множестве Х называется предложение с переменной, которое обращается в высказывание (обозначается – А(х)).

Множество из которого выбирают значение переменной, входящую в высказывательную форму называется обл. определения предиката.

Множество истинности Т предиката – множество значений переменной из мн-ва Х, которые обращают предикат в истинное высказывание. (х – множество чисел 1–9, А (х) – квадратное уравнение).

Различают квантор общности ( V ) и квантор существования (Ǝ).

Квантор общности (высказывание) выражается словами: все, каждый, любой, всякий, и т.д.:

квантор существования – существуют, некоторые, хотя бы один, найдется и т.д..

Пример: «Все натуральные числа кратны 3» -л, например 8(квантор общности)

«Некоторые натуральные числа кратны3»- и, например 6.

Для того, чтобы доказать истинность высказывания с квантором существования достаточно привести 1 пример; чтобы доказать ложность, нужно привести доказательство в общем виде (как теорема).

Чтобы доказать ложность высказывания с квантором общности, нужно привести1 контрпример; чтобы доказать истинность нужно привести доказательство в общем виде.

Понятие высказывания (-предложение, относительно которого имеет смысл вопрос, истинно оно или ложно)

Например:

А: «Число 8 меньше 5»-ложно

В: «Собака домашнее животное»- истина

С: «3+2=4»- ложь

Не любое предложение является высказыванием

Например: вопросы: «тебе нравится фильм? Сегодня хорошая погода, не так ли?»- это ВЫСКАЗЫВАНИЯ

«Садитесь»- НЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ

Высказывания бывают простыми и составными

Если два простых высказывания соединить союзом «И», то получится составное высказывание которое называется коньюнкцией

a ^ b : «Число 8 меньше 5 И (кратно) 2»- ложно

Конъюнкцией выс-ний А и В назыв. выс-ние вида a ^ b, которое истинно, когда оба выс-ния истинны и ложно, когда хотя бы 1 выс-ние ложно.

Если два простых высказывания соединить союзом «ИЛИ» , то получим составное высказывание которое называется дизъюнкцией

a v b:» Число 8 меньше 5 ИЛИ кратно 2»- истина

Дизъюнкцией выс-ний А и В назыв. выс-ние вида a v b которое истинно, когда истинно хотя бы 1 из выс-ний и ложно когда оба ложны (число 8 кратно 2, число 8 кратно 4)

А	В	А ^ В	А v B
И	И	И	И
И	Л	Л	И
Л	И	Л	И
Л	Л	Л	Л