В методе или телефоне Моделирование одноканальной системы массового обслуживания.

Рассмотрим наиболее простой случай применения теории массового обслуживания в моделировании:

• поток заявок простейший и определяется интенсивностью их поступления ;

• поток обслуживания заявок тоже простейший, интенсивность обслуживания – .

Поскольку потоки поступления заявок и их обслуживания простейшие, за достаточно малое время t в систему может поступить только одна заявка и покинуть систему тоже может только одна заявка.

За время t с вероятностью t поступит одна заявка и с вероятностью t очередная заявка будет обслужена. Очевидно с вероятностью 1-t ни одна заявка в систему не поступит и с вероятностью 1-t ни одна заявка не будет обслужена.

Обозначим через Р_n (t) вероятность того, что в момент времени t в системе будет ровно n заявок. Рассчитаем вероятность того, что в момент времени t+t в системе окажется ровно n заявок. Возможны четыре ситуации, приводящие к этому исходу:

• в момент времени t в системе было n-1 заявок, за время t поступила одна заявка и ни одна не была обслужена. Вероятность этого события равна: P_n-1(t)t(1-t);

• в момент времени t в системе n заявок, ни одна не поступила и ни одна не обслужена: P_n(t)(1-t)(1-t);

• в момент времени t в системе n заявок, одна поступила и одна обслужена: P_n(t) tt;

• в момент времени t в системе n=1 заявка, ни одна не поступила, одна обслужена: P_n+1(t)(1-t)t;

Вероятность того, что в момент времени t+t в системе останется ровно n заявок, равна сумме указанных выше вероятностей:

P_n(t+t)=P_n-1(t)t(1-t)+ P_n(t)(1-t)(1-t)+

+ P_n(t) tt+ P_n+1(t)(1-t)t.

Раскроем скобки, исключим слагаемые, в которых содержится t в квадрате (величины второй степени малости), перенесём влево P_n(t) и разделим левую и правую части на t.

Устремив t к нулю, получим следующее дифференциальное уравнение:

Это уравнение описывает все возможные ситуации, кроме случаев, когда n=0.

Возможны два независимых случая, когда в момент времени t+t в системе нет заявок:

• в момент времени t в системе нет заявок, за время t они не поступали. Вероятность этого события равна: P₀(t)(1-t);

• в момент времени t в системе одна заявка, она обслужена, другие заявки не поступали: P₁(t)(1-t)t.

Следовательно, P₀(t+t)= P₀(t)(1-t)+ P₁(t)(1-t)t.

Выполнив такие же аналогичные преобразования, получим второе уравнение:

В установившемся режиме вероятности P_n(t) не зависят от времени, поэтому их производные по времени равны нулю. В результате этого получим систему алгебраических уравнений:

-P₀+P₁=0, n=0,

P_n-1 - P_n(+ + P_n+1, n0.

Введём обозначение: . Из первого уравнения получим P₁=P₀.

Пусть n=1, тогда второе уравнение примет вид:

Преобразовав его, получим P₂=P₀ ². Приняв n=2, получим P₃=P₀ ³. Постепенно увеличивая n, получим P_n=P₀ ⁿ.

Поскольку P_n=1, получим P_n= P₀  ⁿ=1. Поскольку , под знаком суммы находится геометрическая прогрессия, её сумма равна 1/(). В результате этого получим: P₀=, P_n=ⁿ1 .

Определим перечисленные выше характеристики системы:

• вероятность занятости канала (доля времени, в течение которого канал занят) – Р_ож=1-Р₀ =;

• вероятность наличия очереди (n ) равна Р _n = 1 – Р₀ – Р₁ =  ²;

• среднее число заявок, находящихся в системе:

n_ср= nP_n= (1-) nⁿ=(1-) n^n-1=(1-)   ⁿ =

=(1-) (1 / (1-)) =  /(1-).

Обратите внимание на то, что после выноса  за знак суммы, под знаком суммы оказалась производная от ⁿ;

• среднее число заявок, ожидающих обслуживания (длинна очереди), равно n_ож= n_ср - 1;

• среднее время нахождения заявки в системе (ожидающих в очереди и обслуживаемых) – T_ср=n_ср/;

• среднее время ожидания обслуживания – Т_ож= Т_ср-1 / .