Вопрос 31 Постановка классической задачи вариационного исчисления (задача Лагранжа)

Классическая задача вариационного исчисления состоит в следующем: среди множества функций времени – фазовых траекторий, соединяющих две фиксированные точки, соответствующие начальному и конечному моментам времени, требуется выбрать функцию, максимизирующую некоторый интеграл от заданной функции, которая зависит от фазовой координаты и времени.

Рассмотрим функционал V[y]= , (1)

Где - дважды непрерывно дифференцируемая функция.

Граничные точки допустимых кривых закреплены: y (а) = А, у(b) = В (2).

Таким образом, классическая задача вариационного исчисления ставится так: сре­ди всех функций у(x), имеющих непрерывную производную у(х) 𝝐 С¹ [а,b] и удовлетворяющих условиям (2), найти ту, которая достав­ляет экстремум функционалу (1). Эту задачу называют также задачей с закрепленными границами. Любую траекторию у(х) называют допустимой, если она удовлетворяет граничным условиям (2) и: y(x) – непрерывная, а y’ (x) – кусочно-непрерывная.

Пусть кривая у = (х), реализующая экстремум функцио­нала (1), имеет вторую непрерывную производную, т.е. у(х) 𝝐 С²[а, b]. Для того, чтобы функционал (1), определенный на множестве кривых у(х) 𝝐 С²[а, b], удовлетворяю­щих граничным условиям (2), дости­гал экстремума на кривой (х) 𝝐 С²[а, b], необходимо, чтобы эта кривая удовлетворяла уравнению Эйлера:

его решения – «экстремали». (3)

(4)

Уравнение Эйлера полностью: y" F_y’y' + у' F_yy' + F_xy' — Fy = 0.

Задача (4) может иметь единственное решение, может иметь множество, может не иметь ни одного.

Частные случаи уравнения Эйлера.

1. F не зависит от у': F = F(x,y). УЭ принимает вид F_y = 0. (5)

2. F зависит от y' линейно, т. е. F(x,y,y') = М(х,у) +N(x,y)y'.

В этом случае УЭ имеет вид (6)

3. F зависит лишь от у': F = F(y'). УЭ принимает вид y'' Fy'y' = 0 (F_y'y' 0). (7)

откуда следует, что y'' = 0 и экстремалями оказывается семейство прямых линий

у = С₁х + С₂, где C₁ и С₂ — произвольные постоянные.

4. F не зависит от у: F = F(x,y'). УЭ в этом случае принимает вид ,

следовательно, C₁ (8)

Уравнение (8) интегрируется пу­тем разрешения его относительно или по правилам для уравнений, не разрешенных относительно производной (введением параметра и др.).

5. F не зависит явно от x: F = F(y,y').

УЭ в этом случае принимает вид 0. (9)

После умножения обеих частей (9) на получаем в левой части полную производную по откуда следует существование первого интеграла уравнения (9):

. где С1 — произвольная постоянная.

Это уравнение уже имеет первый порядок и интегрируется или путем разрешения относительно у', или по правилам для уравнений, не разрешенных относительно производ­ной .

Примеры решения задач

1. Найти кривую наименьшей длины, соединяющую точки (а, А) и (b, В).

Ответ задачи очевиден — это прямая, соединяющая указанные точки. Получим ее как минимизирующее решение вариационной за­дачи:

Здесь — длина кривой, соединяющей данные точки. Функция F = зависит лишь от .

Экстремалями оказываются прямые у = С₁Х + С₂. Подставляя полученный вид у(х) в граничные условия, находим

у = , т.е. уравнение прямой, проходящей через точки (а, А) и (b, В).

Наличие экстремума на единственной полученной экстремали и его тип (минимум) ясны из геометрических соображений без всяких достаточных признаков.

2. Задача о брахистохроне — кривой быстрейшего скатывания (лучше — соскальзывания) тяжелой материальной точки из одной точки плоскости в другую (понятно, что рассматриваются точки, не лежащие на одной вертикали).

Эта кривая будет минимизирующим решением вариационной задачи

(12)

Здесь у = у(х) — кривая, соединяющая точки А(0, 0) и B(x1,y1). При этом считаем ось Ох горизонтальной, а ось Оу — направленной вниз, t[y] — время на перемещение точки из А в В. Формула (12) получается из соотношений:

— скорость движения точки,

dl = dx — элемент длины дуги,

откуда

Функция F = не зависит явно от x, поэтому уравне­ние Эйлера имеет вид (9) и обладает первым интегралом , т. е.

(13)

После преобразований уравнения (13) получаем

(14)

Введем в (14) параметр t, полагая у' = ctg t, тогда

(15)

Вычисляя dy = 2С₁ sin t cos t dt, имеем

, (16)

.

Полагая для упрощения в (15) и (16) 2t = t₁, получаем в парамет­рическом виде уравнения семейства циклоид

,

,

где — радиус круга, качением которого по оси Ох получается циклоида. Он определяется из условия прохождения циклоиды через точку В(х₁,у₁).

Итак, брахистохроной является циклоида.