Вопрос 2. Критерий выбора оптимальной стратегии в условиях полной неопределенности (игры с природой)

В экономических задачах часто выбор решения зависит от объективной действительности или окружающей экономической среды, которая в математических моделях называется «природой». Математические модели таких ситуаций называются «игры с природой».

игрок А - m стратегий. природа П - n состояний П₁, …, П_n. Матрица игры:

Ai\Пj	П1	…	Пn
A1	a11	…	а1n
…	…	…	…
Am	a1m	…	amn

Показателем благоприятности состояния П_j природы называется

. (1)

Для характеристики удачливости игрока А вводится понятие риска:

. (2)

Таким образом, риск – это упущенная возможность получения максимального выигрыша .

. Для любой матрицы А можно составить матрицу рисков R_A.

Принятие решений в условиях полной неопределенности

Критерий Вальда (критерий крайнего пессимизма - максимин)

Показатель эффективности стратегии A_i - величина , т.е. минимальный выигрыш. Выбираем максимум: .

Максимаксный критерий (критерий крайнего оптимизма)

Показатель эффективности стратегии A_i– это максимальный выигрыш по этой стратегии

. Выбираем максимум.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица относительно выигрыша

Показатель эффективности стратегии .

Оптимальной стратегией A_i0 считается стратегия с максимальным показателем эффективности

При λ = 0 получаем критерий Вальда, а если λ = 1 получаем максимаксный критерий.

Критерий Сэвиджа (критерий крайнего пессимизма)

Показатель неэффективности - максимальный риск .

Оптимальной является стратегия A_i0 с минимальным показателем неэффективности.

Миниминный критерий (критерий крайнего оптимизма)

Показатель неэффективности стратегии – минимальный риск .

Тогда оптимальной является стратегия A_i, при которой минимальный риск минимален.

Можно добавить, что по похожему принципу строятся критерии многокритериальной оптимизации (см.вопрос 27 в прогнозных вопросах)

Вопрос 3.Метод имитационного моделирования (мим) применительно к задачам систем управления запасами.

Управление запасами использует модели одноразовой загрузки. Существует классическая модель управления запасами. D – годовое потребление

Cп – стоимость единицы продукции (включает составляющие, зависящие от количества товара)

Co – составляющая расходов на 1 поставку, которая не зависит от количества товара

Ch – годовые издержки хранения 1 ед. товара, q – объем партии товара (размер запаса)

T – период повторения заказа (время между поставками)

Будем считать, что спрос равномерен, нехватку товаров компенсируем страховым запасом. Формула экономичного размера заказа: . Формула периода повторения заказа, в годах:

Число 2 мы можем не писать в формуле, если у нас зарезервированы места на складе.

Но! Эта формула(Хариса-Уилсона) была выведена давно и не учитывала временную стоимость денег. А мы учтем: ;

Задача – построить модель и оптимизировать ее.

Или относительно Т ( ):

Если мы хотим минимизировать издержки – то оцениваем издержки МИМ.

Т.е. тут мы рассматриваем метод Монте-Карло, моделируем модель управления запасами, хотим получить число. За год, зная годовое потребление, необходимо минимизировать затраты или максимизировать рентабельность. Модель разыгрываем столько раз, пока не получим нужную точность.

Соответственно проводим кучу экспериментов, по результатам формируется статистическая выборка, с ее помощью вычисляем нужные характеристики системы управления запасами. Минусы: иногда может длиться очень долго, затратно.

Подробнее про технологию моделирования:

ИМ — это метод, позволяющий строить модели, описывающие процессы так, как они проходили бы в действительности. Такую модель можно «проиграть» во времени как для одного испытания и их множества. Результаты будут определяться случайным характером процессов. Можно получить достаточно устойчивую статистику. ИМ — это метод исследования, основанный на том, что изучаемая система заменяется имитатором и с ним проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. ИМ — это частный случай математического моделирования. Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае математическая модель заменяется имитатором. Цель эксперимента: проверка выдвинутой гипотезы, оценка реакции системы на воздействие, выявление влияния случайных возмущений на ход процесса и т.д.

Этапы решения проблемы с использованием имитационных моделей:

1. Формулируется проблема. а)определение цели исследования. б)концептуальное описание модели. в)определение возможности проведения имитационного эксперимента по модели

2. Разрабатывается модель. а)построение системы математических уравнений, описывающих развитие объекта. б)разработка программы и ее реализация на ЭВМ. в)оценка адекватности модели

• Логическая проверка соответствия модели исходным предположениям;

• Количественная проверка соответствия между поведением модели и поведением системы;

• Проблемный анализ, основанный на формулировании статистически и содержательно значимых выводов на основе данных, полученных в ходе имитационных расчетов.

3. Планируется эксперимент и способ его проведения

4. Прогнозирование и анализ чувствительности результатов

5. Принятие прогнозного решения (приемлемость прогноза)

Можно выделить две разновидности имитации: Метод Монте-Карло (метод статистических испытаний); Метод имитационного моделирования (статистическое моделирование).

Метод МК – это численный метод решения математических задач, ответ на которые формируется в виде числа, а процесс решения основывается на моделировании, разыгрывании СВ.

Общая схема метода:

1. Конструируем случайную величину ξ, Мξ=m, Дξ≤B²

2. Формируем наблюдения { ξ ₁,…, ξ _n}

3. 

Дискретные СВ: ξ: ξ₁,…, ξ_n с вероятностями p₁,…,p_n – бросаем СЛЧИС в отрезок

Непрерывные СВ. Правило 1. Для того чтобы смоделировать (разыграть) возможное значение хi непрерывной случайной величины Х, зная ее функцию распределения F(х), надо выбрать случайное число ri, приравнять его функции распределения и решить относительно хi полученное уравнение:

F(хi)= ri.

Правило 2. Для того чтобы разыграть возможное значение хi непрерывной случайной величины Х, зная ее плотность распределения f(х), надо выбрать случайное число ri, и решить относительно хi уравнение: где а – наименьшее конечное возможное значение Х.

Примеры:

1. Экспоненциальный ЗР

=>

2. Hормальный ЗР сначала генерируем η стандартный нормальный, а затем ξ=m+ση

Моделирование многомерных случайных величин.

Рассмотрим на примере двумерных величин. Разыгрывание сводится к разыгрыванию её составляющих. Если х и у независимы, то находится ЗР каждой из составляющих, которая затем разыгрывается как одномерная, не зависимо от другой. Если х и у зависимы, то находится ЗР одной составляющей и условный ЗР другой.

ДСВ, пример.

У	Х1	Х2	Х3
У1	0,1	0,3	0,2	0,6
У2	0,06	0,18	0,16	0,4
	0,16	0,48	0,36

Ру1/х3=0,2/0,36=5/9

Ру2/х3=0,16/0,36=4/9

Ру1/х1=0,1/0,16=5/8

Ру2/х1=0,06/0,16=3/8 и опять бросаемся

Непрер.вектор:

Сначала моделир. Х, реализацию обозначим х*

Потом находим условную плотность У: w(y/x*)=w(x*,y)/w(x*) и по этой плотности реализуем у.

Оценка точности решения имитационных задач.

Оцениваем точность полученного результата, после моделирования СВ следующим образом: определяем необходимый объем выборки для заданной точности. Используем ЦПТ: (*) , ,

Для (*) выполняется правило трех сигм:

Если n ->∞ , то ->0 . Чтобы найти заданную точность

Интересующая нас верхняя грань ошибки дельта есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Рассмотрим следующие три случая.

1.     СВ Х распределена нормально и её СКО дельта известно. В этом случае с надёжностью гамма верхняя граница ошибки 

,   (*) где n число испытаний; t – значение аргумента ф.Лапласа, при котором  , сигма - известное СКО Х.

2.     СВ Х распределена нормально, причём её СКО неизвестно. В этом случае заменить СКО на оценку s, а вместо лапласа - стьюдент

3.     СВ Х распределена ненорм. В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n>30) с надёжностью, приближённо гамма, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (*), если СКО известно; если нет, то можно подставить в формулу (*) его оценку s – «исправленное» СКО. Заметим, что чем больше n, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при   распределение Стьюдента стремится к нормальному.

.