Вопрос 22. Метод потенциалов для решения стандартной транспортной задачи.

Первый точный метод решения транспортной задачи. предложен в 1949 году Кантаровичем А. В. и Гавуриным М. К. по существу он является детализацией метода последовательного улучшения плана применительно к транспортной задаче. Метод потенциалов позволяет, отправляясь от некоторого опорного плана перевозок, построить решение транспортной задачи за конечное число шагов (итераций). Сначала находят опорный план транспортной задачи, а затем его последовательно улучшают до получения оптимального плана.

Задача: Однородный груз, имеющийся в m пунктах отправления (производства) А1, А2, ...Аm соответственно в количествах а1, а2, ...аm единиц, требуется доставить в каждый из n пунктов назначения (потребления) В1, В2, ..., Вn соответственно в количествах b1, b2 ..., bn единиц. Стоимость перевозки единицы продукции -cij (i=1,m; j=1,n). Требуется составить такой план перевозок, чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок была минимальна.

Транспортная задача, в которой суммарные запасы и суммарные потребности совпадают, называется закрытой моделью; в противном случае - открытой. Открытая модель решается приведением к закрытой. В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, вводится фиктивный n+1 потребитель. В случае, когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, т.е., вводится фиктивный m+1 поставщик. Для фиктивного тарифы = 0.

Теорема 1. Базисное решение закрытой модели транспортной задачи содержит m+n-1 базисных компонент.

допустимое решение - план, базисное - опорный план, оптимальное - оптимальный план.

Теорема 2. Оптимальный план закрытой модели транспортной задачи существует всегда.

Транспортная задача представляет собой связный граф. Из вершин отправления дуги выходят. В вершины назначения дуги входят. Если преобразовать входы-выходы графа в таблицу, получим матрицу инцидентности размера n на m. На месте выхода дуги из i-го пункта отправления и входа в j-ый пункт назначения стоит 1, если эта дуга отсутствует – стоит 0. Если х – допустимый план, тогда его полож.компоненты называются существенными. Дуги, соответствующие существенным компонентам плана, - основные коммуникации плана.

План является опорным тогда и только тогда, когда дуги, соответствующие существенным компонентам плана, не образуют цикла. (Н: х – допустимый план перевозок. х – опорный план, т.е. базис, т.е. столбцы линейно независимы. Отсюда дуги не образуют цикла. Д: Не образуют цикла, т.е. столбцы матрицы инцидентности линейно независимы. Т.к. матрица составляет ограничения, то х – опорный план.).

НАЙТИ опорный план: способ северо-западного угла. Отыскание симплекс множителей. В крайний правый столбец внесем значения неизвестных u1,…,um, в нижнюю строку - значения неизвестных v1,…,vn,. Эти m + n неизвестных для всех (i, j), соответствующих базисным переменным, должны удовлетворять линейной СУ uk = vi - cik. Полагают u1 = 0. U1+c1k=vk (1k-клетка заполненная). Теперь знаем vk. Vk-cfk=uf (fk-заполненная). Узнали uf. Продолжаем так же «конем».

Потом строим матрицу Д ( ). Где наим.отр.элемент-будет вершина цикла. Прямые углы, только заполненные клетки. Знаки + и – через одну вершину. Перемещаем максимум сколько возможно. Снова матрица Д, снова если есть отр. элементы, то перемещаем.