Вопрос 12.Индекс Гиттинса последовательности доходов: стохастическая модель со случайными доходами. Экономическая интерпретация.

Впервые метод опубликован в 1979 г. в журнале Operational Research. существуют D-независимые "проекты", только один из которых может быть вовлечен в данное время, в то время как остальные остаются "замороженными". Вовлекая проект, мы получаем определенное случайное вознаграждение, зависящее от времени и истории вовлекаемого проекта. Целью является максимизация общего ожидаемого дисконтированного вознаграждения за "infinite horizon". Как же оптимально составить график вовлечения?

Необходимо найти наименьший общий делитель времени, который может поместиться в любой другой отрезок времени. После этого этапы будут иметь одинаковую длительность. Проделаем это на каждом проекте, получим:

Тут уже не те Х, что были раньше. Хо – прибыль после выполнения 1го этапа, Х1 – после выполнения 2го этапа, – после выполнения n-го этапа.

Все проекты наши и мы должны выполнить их все. - наша прибыль. Наша задача найти оптимальный порядок выполнения проектов, т.е. NPV → max (! Не путать с методом NPV, где нужно выполнить весь проект целиком, мы можем остановиться после каждого этапа). Запишем так – { } – числовая последовательность

Где β = 1/(1+r) – дисконт множитель. Sup можно заменить на max, т.к число проектов конечно

То есть мы по τ максимизируем выручку после каждого этапа. Не забывая о временной стоимости денег. При τ = 1 мы получаем: ,

При τ = 2 мы получаем – деньги, которые мы получим в среднем с учетом % за 2 этапа

При τ = 3 мы получаем - деньги, которые мы получим в среднем на каждом этапе, если проработаем 3 этапа.

показывает максимальную возможную интенсивность дохода, если вовремя остановиться. Продолжаем процесс до момента остановки (после получения максимального дохода). Вычеркиваем эти этапы и заново считаем индексы Гиттинса. Индекс Гиттинса остатка числовой последовательности, после того как она была выбрана n раз:

При τ>n : Τ=n-1: - среднее по Гиттинсу

Экономическая интерпретация – Индекс Гиттинса показывает, сколько денег мы получим, если выполним τ этапов. Важно вовремя остановиться, поэтому, после нахождения максимального значения мы получаем то максимальное количество денег, которое мы можем получить на ПРОЕКТЕ в целом, если вовремя остановимся. Если найденный этап не был последний, то есть мы решили продолжить, повторяем все сначала, но за первый теперь берем этап следующий после найденного.

Индексное правило заключается в том, что оптимальная стратегия на каждом шаге выбирает стадию и проект, который имеет наибольший индекс Гиттинса.

В случае, когда доходы/прибыль является СВ, над иксом ставится волна и проделывается аналогично.

Свойства индексов Гиттинса:

1. - последовательность констант, , момент остановки , то есть нам выгодно не останавливаться

2. - убывающая последовательность, , (получили первые деньги и остановились)

3. - возрастающая последовательность, , – последнее, не останавливаемся

4. Если домножить/разделить на одно и то же число наши прибыли, по максимум останется там же. Если прибавить константу, то конечный результат возрастет на эту константу.