I семестр
Множества и операции над ними.
Понятие множества. Числовые множества. Кванторы. Операции над множествами. Изображение множеств в виде диаграмм. Теоретико-множественные тождества.
Логика высказываний.
Таблицы истинности. Тождественно истинные формулы. Связь тождеств теории множеств и логики высказываний.
Техника дифференциального и интегрального исчисления.
Понятие предела функции. Непрерывные функции. Производная. Арифметические операции, таблица производных. Интегральное исчисление, таблица неопределённых интегралов. Метод замены переменных, интегрирование по частям. Определённый интеграл, свойства. Метод замены переменных, интегрирование по частям.
Свойства функций на вещественной прямой.
Функции и способы их задания. График функции. Линейная функция. Чётные, нечётные, периодичные функции. Свойства периодичных функций. Теорема о множестве периодов функции, имеющей данный наименьший период. Периодичность композиции. Сумма, произведение, частное периодичных функций. Целая и дробная часть числа.
Понятие соответствия и функции. Обратные функции.
Декартово произведение. Декартова система координат. Отношения и соответствия. Отображения. Область определения, множество значений, образ, прообраз, композиция отображений, взаимно-однозначное отображение. Обратное соответствие, обратная функция, обратимая функция. График обратной функции. Критерий обратимости. Достаточное условие обратимости.
Показательная и логарифмическая функции.
Степенная функция, определение, свойства и графики показательной функции. Определение, свойства и графики логарифмической функции.
Тригонометрические функции.
Определение, свойства и графики тригонометрических функций. Определение и свойства обратных тригонометрических функций.
Натуральные числа.
Отношение эквивалентности и факторизация, фактор-множество. Мощность множества. Счётные и континуальные множества. Определение и свойства натуральных чисел. Теорема о делении с остатком. Десятичная запись натуральных чисел. Свойства делимости натуральных чисел.
Метод математической индукции.
Простые и составные числа.
Простые числа, бесконечность множества простых чисел. Наибольший общий делитель, алгоритм Евклида. Взаимно простые числа. Основная теорема арифметики, каноническое разложение натурального числа в произведение степеней простых чисел.
Целые числа.
Определение и свойства. Сравнение по модулю. Операции над сравнениями. Кольцо вычетов по модулю m.
Рациональные числа.
Определение и свойства рациональных чисел. Поле рациональных чисел. Представление рациональных чисел в виде конечных и бесконечных периодических десятичных дробей, представление бесконечной периодической дроби в виде рационального числа.
II СЕМЕСТР
Нахождение рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами.
Действительные числа.
Определение действительных чисел. Операции над действительными числами. Поле действительных чисел. Аксиома Архимеда и аксиома Дедекинда. Иррациональные числа, примеры. Взаимная плотность рациональных и иррациональных чисел. Точные верхние и нижние грани.
Элементы логики предикатов.
Понятие алгебраической системы. Примеры – числовые системы. Определение терма, формулы логики предикатов. Примеры. Определение значения терма и истинности формулы на алгебраической системе. Тождественно истинные формулы, эквивалентность формул. Основные тождества. Приведение формулы к предварённой нормальной форме. Обобщённые кванторы (∀x>0, ∃x≤3), операции над ними.
Теория последовательностей.
Определение последовательности. Предел последовательности. Предельный переход в неравенствах. Единственность предела. Ограниченные последовательности, монотонные последовательности. Предел подпоследовательности. Лемма о двух милиционерах. Бесконечно малые последовательности. Арифметические операции над пределами. Расширенная числовая прямая, бесконечные пределы. Существование предела монотонной последовательности. Теорема о вложенных промежутках. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Фундаментальные последовательности, критерий Коши.
Эквивалентные определения вещественного числа.
Определение действительных чисел как множества дедекиндовых сечений, бесконечных десятичных дробей, пределов фундаментальных последовательностей.
Предел функции.
Определение предела функции в точке по Коши и по Гейне, их эквивалентность. Единственность предела функции. Односторонние пределы, бесконечные пределы. Ограниченность функции, имеющей предел. Арифметические операции над пределами. Предел монотонной функции.
Непрерывные функции.
Определение непрерывной функции. Непрерывность монотонной функции. Арифметические операции над непрерывными функциями. Композиция непрерывных функций. Первая и вторая теоремы Больцано-Коши. Непрерывность обратной функции. Первая и вторая теоремы Вейерштрасса.
Производная.
Определение производной, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной. Производная обратной функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Производная суммы, произведения, частного. Производная композиции.
Замечательные пределы и табличные производные.
Замечательные пределы. Определение числа e. Производные элементарных функций. Табличные производные.
Теоремы дифференциального исчисления.
Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Условия постоянства и монотонности функций. Локальные экстремумы, необходимые и достаточные условия. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба, достаточные условия. Классификация точек разрыва, вертикальные асимптоты. Наклонные асимптоты. Исследование функции и построение её графика.
Неопределённый интеграл.
Первообразная функции, её свойства. Неопределённый интеграл, таблица простейших интегралов. Свойства неопределённого интеграла. Приёмы интегрирования: метод замены переменной, интегрирование по частям.
Определённый интеграл.
Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определённого интеграла. Свойства определённого интеграла. Теорема о среднем. Интегрирование по частям, замена переменной в определённом интеграле. Площадь криволинейной трапеции.
Понятие площади и объёма.
Понятие площади. Площадь многоугольника. Квадрируемые фигуры. Понятие объёма. Кубируемые тела. Площадь подграфика – первообразная функции. Вычисление площадей и объёмов с помощью определённого интеграла. Объём цилиндроида, конусоида. Объём тел вращения. Объём конуса, шара. Длина кривой. Площадь поверхности. Вычисление площадей поверхностей вращения с помощью определённого интеграла.
Векторы и декартова система координат.
Понятие вектора на плоскости и в пространстве. Коллинеарные, компланарные вектора, критерии коллинеарности и компланарности. Разложение вектора по базису, существование и единственность разложения. Декартова система координат. Скалярное произведение векторов. Совпадение скалярного и покоординатного произведения в ортонормированном базисе.
Аналитическая геометрия.
Уравнение плоскости в пространстве. Расстояние от точки до плоскости, угол между плоскостями. Уравнение прямой в пространстве. Угол между скрещивающимися прямыми, расстояние между скрещивающимися прямыми. Решение стереометрических задач методом координат.
Практические занятия