2.5. Разностные схемы, записанные в дивергентной форме
Для системы уравнений газовой динамики
Рассмотрим систему одномерных уравнений газовой динамики, записанных в декартовых координатах в дивергентной форме:
,
где
.
Здесь
плотность полной энергии и уравнение
состояния:
Запишем схему с весами для системы уравнений газовой динамики:
.
(30)
Схема
является консервативной и аппроксимирует
систему уравнений (30) с порядком
.
При
схема нелинейная относительно верхнего
временного слоя и для ее безытерационной
реализации линеаризуем вектор
относительно вектора
.
Для этого разложим вектор
по формуле Тейлора с точностью до членов
второго порядка:
,
где
матрица Якоби, а
аппроксимация
производной
.
Заменяя вектор
в схеме (30) получаем
канонический вид схемы:
. (31)
Уравнение (31) линейно относительно вектора и может быть решено векторной прогонкой. При симметричной аппроксимации, входящих в него разностных операторов, оно сводится к следующему трехточечному уравнению:
коэффициенты которого вычисляются по формулам:
Здесь
используется однородность функции
.
Рассмотрим
случай идеального газа. В этом случае
уравнение состояния
,
где
и
.
Найдем
коэффициенты матрицы
.
Обозначим
,
тогда
=
и
.
Для коэффициентов
матрицы В имеем:
,
,
,
,
,
.
Задание.
Найти самостоятельно коэффициенты
,
,
.
В
итоге получаем следующую матрицу
:
.
Исследуем устойчивость схемы (31) для уравнений с замороженными коэффициентами (матрица В постоянная). При решении характеристического уравнения получаем следующие корни ( в случае симметричной аппроксимации):
.
Здесь
- квадрат скорости звука и
.
При
схема безусловно устойчивая.
Параметрическая схема с весами для решения полной системы уравнений Навье-Стокса
Изменяется вектор гидродинамического потока. Появляются в системе уравнений производные второго порядка по пространственным переменным. Одномерная дивергентная система уравнений Навье – Стокса записывается в виде
, (32)
где
Для разностного решения системы (32) воспользуемся следующей схемой с весами:
. (33)
Здесь
вектор потока
,
где
.
Схема нелинейная и для построения
безытерационной схемы необходимо
линеаризовать вектор
.
По формуле Тейлора для функции двух
переменных получаем:
.
Изменяя
порядок дифференцирования
и используя матрицы Якоби, имеем:
.
Здесь матрица
.
Для построения канонического вида разностной схемы преобразуем третье слагаемое уравнения.
.
Здесь матрица
.
Замечание.
Для аппроксимации производной
используется разностный оператор
,
где
.
Заменяя в схеме (33) значение вектора потока и преобразуя уравнение, получаем следующий канонический вид линеаризованной схемы с весами для системы уравнений Навье – Стокса:
.
Полученная схема аппроксимирует систему уравнений (32) с тем же порядком, что и схема (30) и в линейном приближении безусловно устойчива.
Вид
матриц
можно упростить, если в качестве искомых
переменных выбирать вектор состояния
не в массовых переменных, а один из
векторов с газодинамическими переменными,
например
.
В этом случае легче ставятся граничные
условия и уменьшается число арифметических
операций при реализации схемы.