1.4. Расщепление уравнений системы, записанной в недивергентной форме

Рассмотрим систему уравнений (14)

. По каждому пространственному направлению можно провести расщепление по физическим процессам. При расщеплении по физическим процессам, как и раньше, выделяются матрицы конвективных потоков, матрицы, обусловленные действием сил давления и матрицы диссипативных сил.

Систему уравнений (14) можно представить в виде

. Здесь индекс α относится к расщеплению по направлениям. Каждый матричный дифференциальный оператор , в зависимости от выбора вектора состояния течения, имеет различную структуру. Произвол в выборе искомых функций позволяет строить различные формы расщепления.

В качестве примера (см.[6]) рассмотрим расщепление по физическим процессам оператора , когда вектор состояния течения выбран . В зависимости от выделенных выше физических процессов оператор ,

где

,

и

.

Здесь матрица = + . Ясно, что от выбранного вида расщепления будет по-своему реализовываться и вычислительный алгоритм.

Далее будут исследованы различные упрощенные модели системы уравнений Навье – Стокса.

1.5. Различные упрощенные модели полной системы уравнений Навье-

Стокса

В этом разделе будут рассмотрены упрощенные модели системы уравнений Навье-Стокса в дальнейшем, используемые при построении дискретных аналогов.

Это линеаризованная система уравнений Навье-Стокса, модель вязкой несжимаемой жидкости, система уравнений пограничного слоя, система уравнений вязкого ударного слоя и параболизованная система уравнений Навье-Стокса. Выбор моделей с одной стороны обусловлен их широкой применимостью при расчетах различных областей течения (см.рис.3), а с другой стороны позволяет значительно сэкономить вычислительные ресурсы.

Линеаризованная система уравнений Навье-Стокса.

В некоторых задачах механики сплошной среды исследуемые движения и процессы имеют характер малых возмущений некоторых состояний равновесия или основного движения.

В аэродинамики, например, при изучении движения различных тонких тел в воздухе в направлении их основного размера, когда угол наклона скорости полета к элементам поверхности тел мал, движение вызывает в основной массе воздуха малые скорости возмущения.

В тех случаях, когда допущение о малости искомых функций является приемлемым, в постановке задач можно провести линеаризацию.

Пусть известен вектор состояния основного течения .В течение вносятся малые возмущения: , , , .

Здесь . Искомое решение можно представить в виде В этом случае систему уравнений (15) можно линеаризовать (метод замороженных коэффициентов).

Рассмотрим первое уравнение системы (15):

Заменим искомые функции через основное и возмущенное решения, тогда

Так как , то производные от них равны нулю. Получаем линеаризованное уравнение с постоянными коэффициентами: , в котором опущены слагаемые старшего порядка малости.

Аналогично преобразовывается второе и третье уравнения системы (15) получаем :

(17)

Эта система может быть решена и аналитически.

В случае баротропного течения когда, , система (17) упрощается. Опускается уравнение энергии и в уравнении движения пересчитывается производная от давления по формуле:

Здесь скорость звука. Система (17) преобразуется в следующую:

При невязком течении (т.е. ) дальнейшее упрощение системы приводит к системе уравнений газовой динамики, которую можно записать в операторном виде: где и . Если движение начинается с состояния покоя , то мы приходим к уравнению акустики .

Модель вязкой несжимаемой жидкости

Среда называется несжимаемой, если любой ее индивидуальный объем остается постоянным по величине во все время движения. Плотность в частице несжимаемой среды также остается постоянной.

Уравнение неразрывности (1) сводится к следующему уравнению: , а уравнения движения (2) (в двумерном случае) равны: и . Здесь вектор скорости =( . Эта модель используется для вывода следующей

Системы уравнений ламинарного пограничного слоя

Один из методов получения упрощенных моделей из полной системы уравнений Навье – Стокса основан на гипотезе о том, что толщина пристеночной области, в которой вязкость и теплопроводность играют существенную роль, а также величина нормальной к направлению потока составляющей скорости в этой области имеют порядок . Сохранение слагаемых в уравнениях Навье – Стокса различного порядка малости , , и приводит к построению различных приближенных моделей сжимаемого теплопроводного газа.

Уравнения и основные понятия теории пограничного слоя были установлены в 1904 г. Л.Прандтлем.

Для получения уравнений теории пограничного слоя рассмотрим задачу об обтекании несжимаемой вязкой жидкостью тонкой пластинки, поставленной по направлению набегающего потока.

Рис.1

Пусть L – некоторый характерный размер, например длина пластинки. Обозначим через δ «толщину» пограничного слоя (см.рис.1). По основному допущению примем, что на расстоянии δ по нормали от поверхности пластинки имеется «граница» пограничного слоя.

Величина δ или, точнее, отношение принимается в качестве малой величины. Воспользуемся преобразованием и предположим, что в пограничном слое переменные изменяются в конечных пределах, а интервал изменения переменной y имеет порядок δ (см.[14]). Примем также, что величины U(t) скорость набегающего потока, скорость u(x,y,t) и их производные по времени и производные по пространству внутри пограничного слоя и на его границе с основным потоком конечны.

Заменяя переменные и используя принятые выше допущения, оценим слагаемые в каждом уравнении модели вязкой несжимаемой жидкости и укажем их порядки. В уравнении неразрывности: . Предполагая, что слагаемые уравнения должны быть одинаковые по порядку, получим оценку для нормальной компоненты скорости:

Теперь оценим слагаемые первого уравнения движения:

Остальные слагаемые левой части по порядку тоже равны первым: и . Остается оценить вязкие члены уравнения. Получаем и . Сравнивая между собой эти слагаемые, имеем: , т.е. второе слагаемое намного больше первого.

При исследовании пограничного слоя предполагают, что влияние вязких слагаемых сопоставимо с влиянием конвективных слагаемых и слагаемых, связанных с силами давления, то есть по порядку эти слагаемые должны быть одинаковы. Второй член правой части уравнения, по предположению, имеет одинаковый порядок со слагаемыми левой части уравнения, тогда: . Получаем оценку на «толщину» пограничного слоя: и малый параметр:

.

Оценим слагаемые второго уравнения движения:

Тогда

. Остальные члены второго уравнения тоже будут меньшего порядка по сравнению со слагаемыми первого уравнения (проверить самостоятельно), кроме члена с давлением. Остается только слагаемое или .

Окончательно получаем следующую систему пограничного слоя:

(18)

Уравнения (18) остаются нелинейными. Поперек пограничного слоя давление сохраняется постоянным и определяется значением на границе слоя в основном потоке, следовательно, в первом уравнении член можно считать известным.

Эта система была предложена Прандтлем и используется только для расчета течения в пограничном слое. Ее нельзя использовать для внешнего течения. Но если 2-е уравнение системы заменить на уравнение:

то получаем систему уравнений вязкого ударного слоя, которая уже может быть использована для расчета и внешнего течения.

Система уравнений Прандтля, полученная ранее, представляет собой первое «приближение», точнее приближение, содержащее малый параметр в нулевой степени в асимптотическом разложении решений уравнений Навье-Стокса по малому параметру.

При последующих приближениях, содержащих малый параметр в нулевой и первой степени ( и ), получают систему обобщенных уравнений Прандтля и т.д.

Параболизированная система уравнений Навье-Стокса (ПУНС)

ПУНС используется при численном исследовании сверхзвуковых течений (особенно стационарных задач) и получается из полной системы уравнений Навье – Стокса после исключения всех 2-х производных (повторных и смешанных), содержащих дифференцирование вдоль потока (см.[7]).

ПУНС по точности занимает промежуточное место между уравнениями вязкого ударного слоя и обобщенными уравнениями Прандтля, так как содержит слагаемые старшего порядка малости, чем в уравнении пограничного слоя.

В качестве примера рассмотрим также задачу обтекания плоской пластины, но уже однородным потоком вязкого сжимаемого теплопроводного газа.

Рис.2

Выпишем полную стационарную систему уравнений Навье-Стокса, описывающую данное течение, которая в векторной записи равна: . Подставляя вектора потоков имеем:

=0

Заменяя элементы тензора вязких напряжений: , получаем следующую систему уравнений:

.

Пораболизированная система уравнений Навье-Стокса получается при выбрасывании из уравнений всех повторных производных, содержащих хотя бы одно дифференцирование по . Получаем

Иллюстрация применимости моделей

Для иллюстрации применимости различных упрощенных уравнений рассмотрим задачу обтекания тела конечного размера сверхзвуковым потоком сжимаемого вязкого теплопроводного газа (см.[6]).

Задача рассматривается при умеренных числах Маха (не больше 6), так как при М≈6 температура газа у поверхности тела может достигать нескольких тысяч градусов, а в такой ситуации для правильного описания течения необходимо рассматривать течение как многокомпонентную химически реагирующую смесь.

Рис.3

На рис. 3 обозначены следующие зоны течения:

1 – Головной скачок уплотнения.

2 – Область слабовязкого течения между ударной волной и пограничным слоем.

3 – Пограничный слой.

4 – Волны разрежения.

5 – Область возвратного течения.

6 – Кормовой скачок.

7 – Висящий пограничный слой.

8 – Хвостовой скачок.

9 – Горло следа.

10 – Ближний след.

11 – Дальний след.

Для изучения течения в области 2 справедлива модель уравнений газовой динамики, в области 3 – система уравнений пограничного слоя, в областях 5 и 9 полная система уравнений Навье-Стокса, а в областях 10 и 11 – различные упрощенные модели уравнений.