Глава 4. Элементы комбинаторики.

§1. Правило суммы для конечных множеств.

229. Правило суммы состоит в следующем:

1. Число элементов объединения непересекающихся конечных множеств А и В равно сумме числа элементов этих множеств;

2. Если объект А может быть выбран n способами и после каждого из таких выборов объект В в свою очередь может быть выбран m способами, то выбор «А и В» в указанном порядке может быть осуществлен nm способами.

3. Число элементов объединения непересекающихся конечных множеств А и В равно произведению числа элементов этих множеств.

4. Если объект А может быть выбран n способами и после каждого из таких выборов объект В в свою очередь может быть выбран m способами, то выбор «А и В» в указанном порядке может быть осуществлен n+m способами.

230. Если А В= ,то получим

1. n(A B)=n(A)+n(B);

2. n(A B)=n(A)+n(B).

3. n(A B)=n(A)+n(B)- n(A B).

4. n(A B)=n(A)+n(B)- n(A B).

231. Если А В , то получим

1. n(A B)=n(A)+n(B).

2. n(A B)=n(A)+n(B).

3. n(A B)=n(A)+n(B)- n(A B);

4. n(A B)=n(A)+n(B)- n(A B).

232. Для трех множеств можно получить n(A B С)=

1. n(A)+n(B)+ n(С)-n(A B)-n(A С)-n(В С)+ n(A B С);

2. n(A)+n(B)+ n(С)+n(A B)+n(A С)-n(В С)+ n(A B С).

3. n(A)+n(B)+ n(С)-n(A B)+n(A С)-n(В С)+ n(A B С).

4. n(A)+n(B)+ n(С)-n(A B)+n(A С)-n(В С)- n(A B С).

233. Обобщенное правило суммы выражается формулой

1. n(A₁ A₂ … A_k)=n(A₁)+n(A₂)+…+n(A_k)-n(A₁ A₂)-n(A₁ A₃)-…n(A_k-1 A_k)+n(A₁ A₂ A₃)+…n(A_k-2 A_k-1 A_k)+…+(-1)^k-1n(A₁ A₂ … A_k);

2. n(A₁ A₂ … A_k)=n(A₁)+n(A₂)+…+n(A_k)-n(A₁ A₂)-n(A₁ A₃)-…n(A_k-1 A_k)+n(A₁ A₂ A₃)+…n(A_k-2 A_k-1 A_k)+…+(-1)^k-1n(A₁ A₂ … A_k).

3. n(A₁ A₂ … A_k)=n(A₁)+n(A₂)+…+n(A_k)-n(A₁ A₂)-n(A₁ A₃)-…n(A_k-1 A_k)+n(A₁ A₂ A₃)+…n(A_k-2 A_k-1 A_k)+…+(-1)^k-1n(A₁ A₂ … A_k).

4. n(A₁ A₂ … A_k)=n(A₁)+n(A₂)+…+n(A_k)-n(A₁ A₂)-n(A₁ A₃)-…n(A_k-1 A_k)+n(A₁ A₂ A₃)+…n(A_k-2 A_k-1 A_k)+…+(-1)^k-1n(A₁ A₂ … A_k).

§2. Правило произведения для конечных множеств.

234. Из Казани в Самару можно добраться пароходом, поездом или самолетом. От Самары до Тольятти можно добраться на автобусе или такси. Сколькими способами можно добраться из Казани в Тольятти?

1. 6;

2. 3.

3. 2.

4. 1.

235. Декартовым произведением непустых множеств А и В называется множество упорядоченных пар:

1. А В={(х,у): (x )&(y )};

2. А В={(х,у): (x∉ )&(y )}.

3. А В={(х,у): (x )&(y )}.

4. А В={(х,у): (x )&(y )}.

236. Для k-множеств А₁, А₂,…,А_k их декартово произведение определяется как множество k элементов:

1. А₁ А₂ …А_k={(x₁,x₂,…x_k): (x₁ A₁)&(x₂ A₂)&…&( x_k A_k)};

2. А₁ А₂ …А_k={(x₁,x₂,…x_k): (x₁ A₁)&(x₂ A₂)&…&( x_k A_k)}.

3. А₁ А₂ …А_k={(x₁,x₂,…x_k): (x₁ A₁)&(x₂ A₂)&…&( x_k A_k)}.

4. А₁ А₂ …А_k={(x₁,x₂,…x_k): (x₁ A₁)&(x₂ A₂)&…&( x_k A_k)}.

237. Правило произведения можно сформулировать следующим образом:

1. Число элементов объединения непересекающихся конечных множеств А и В равно сумме числа элементов этих множеств.

2. Если объект А может быть выбран n способами и после каждого из таких выборов объект В в свою очередь может быть выбран m способами, то выбор «А и В» в указанном порядке может быть осуществлен nm способами;

3. Число элементов объединения непересекающихся конечных множеств А и В равно произведению числа элементов этих множеств.

4. Если объект А может быть выбран n способами и после каждого из таких выборов объект В в свою очередь может быть выбран m способами, то выбор «А и В» в указанном порядке может быть осуществлен n+m способами.

238. Обобщенное правило произведения:

1. n(А₁ А₂ … А_k)= n(A₁)n(A₂)…n(A_k);

2. n(А₁ А₂ … А_k)= n(A)+n(A₁)+ n(A₃)+n(A A₁)+n(A₂ A₃)-n(A₂ A_k)+ n(A₁ A₂ A_k)

3. n(А₁ А₂ … А_k)= n(A₁ A₂)…n(A_k-1 A_k).

4. n(А₁ А₂ …+А_k)= n(A₁) n(A₂)+…+n(A_k).