Выполнение работы

В данной работе решается следующая математическая задача: решить систему двух дифференциальных уравнений в частных производных, решением которой будут функции горизонтальных w(x,y) и вертикальных v(x,y) перемещений:

Решение находится из заданных смешанных граничных условий: на одной части границы детали указываются сосредоточенные силы (к точке 1 сила P=600Н, к точке 13 сила Р=-600Н), на другой части задаются известные перемещения (вертикальные перемещения точек на оси ОХ равны 0, горизонтальное перемещение точки 7 равно 0).

Решение системы уравнений будет производиться методом конечных элементов. Неизвестные функции, являющаяся решением заданного дифференциального уравнения, аппроксимируется множеством полиномов, определенных на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами. Перемещения внутри треугольного конечного элемента вычисляются c помощью интерполяционного полинома:

В этом методе применяется принцип наименьшей энергии. Исходя из принципа возможных перемещений задача сводится к системе линейных уравнений равновесия для всех элементов, количество уравнений которой равно количеству неизвестных в узлах.

Сначала деталь была разбита на 2 четырёхугольных фрагмента, была проведена первоначальная нумерация узлов и найдены координаты узловых точек. Поскольку деталь нагружена сосредоточенной силой по оси симметрии, в расчёт взята только верхняя её половина. Координаты представлены в таблице №1.

Таблица №1

Координаты узловых точек, м

Номер узла	X	Y
1	0	0
2	0	0.0275
3	0	0.055
4	0.02	0
5	0.02	0.04
6	0.04	0
7	0.04	0.0125
8	0.04	0.025
9	0.07	0
10	0.07	0.025
11	0.1	0
12	0.1	0.0125
13	0.1	0.025

На рисунке 3 наглядно представлено это разбиение, выполненное в программе ProFEM.

Рис.3 Вид фрагментов

Далее создаётся матрица связности фрагментов (таблица №2).

Таблица №2

Матрица связности элементов

Номер фрагмента	1-ая сторона	2-ая сторона	3-я сторона	4-ая сторона
1	2	0	0	0
2	0	0	1	0

Задаётся количество разбиений и локальные номера узлов в каждом фрагменте. Связь глобальных и локальных номеров узлов представлена в таблице №3:

Таблица №3

Связь глобальных и локальных номеров узлов

Номер фрагмента	1	2	3	4	5	6	7	8
1	6	7	8	5	3	2	1	4
2	11	12	13	10	8	7	6	9

На рис. 4 представлен результат работы программы для количества разбиений фрагмента равных 3 (==3):

Рис. 4. Вид сетки для разбиения равного 3

при помощи программы выполняется расчёт напряжённо-деформированного состояния детали при заданных граничных условиях:

1. Вводится значение модуля упругости и коэффициент Пуассона (рис. 5):

Рис.5. Ввод значения модуля упругости и коэффициент Пуассона

2. Вводится информация о заданных силах и перемещениях (рис.6,7):

Рис.6. Задание горизонтальных и вертикальных сил в узлах

Рис.7 . Задание горизонтальных и вертикальных перемещений в узлах

3. Просмотр окна результатов решения поставленной задачи (рис. 8):

Рис.8. Распределение горизонтальных перемещений в детали для разбиения равного 3

По полученным результатам решения можно судить не только о перемещениях, но и о действующих напряжениях.

При необходимости полученные результаты можно посмотреть в получающейся таблице (рис. 9):

Рис.9.Численные значения горизонтальных и вертикальных перемещений в узлах; горизонтальных и вертикальных перемещений в элементах; горизонтальных, вертикальных и касательных перемещений в элементах; горизонтальных и вертикальных напряжений в элементах

Далее рассматривается решение задачи с большим количеством разбиений. Принимается разбиение равное 5, тогда сетка принимает следующий вид (рис. 10):

Рис.10. Вид сетки для разбиения равного 5

Решение в случае 5-ти разбиений (рис.11.):

Рис.11. Распределение горизонтальных перемещений в детали для разбиения равного 5

Далее принимается разбиение равное 7, сетка принимает следующий вид (рис. 12):

Рис.12. Вид сетки для разбиения равного 7

Решение в случае 7-ми разбиений (рис.13.):

Рис.13.Распределение горизонтальных перемещений в детали для разбиения равного 7

Если взять ещё большее разбиение, например 15, то картина распределения горизонтальных перемещений будет менее дискретной:

Рис.14. Распределение горизонтальных перемещений для разбиения равного 15

Построение графиков зависимости координат х узлов от величин горизонтальных перемещений u для всех трёх разбиений производится с помощью программы MathCad:

1. Задание матриц x₃, х₅, х_7, то есть координат х узлов в сечении ОХ на участке от 0 до 40 мм, расположенных на равных расстояниях:

2. Задание матриц перемещений u₃, u₅, u₇ узлов:

3. На рис. 15 представлен совмещённый график зависимостей координат х узлов в сечении ОХ на участке от 0 до 40 мм, расположенных на равных расстояниях, от величин горизонтальных перемещений u для трёх разбиений:

Рис.15. График зависимостей координат х узлов в сечении ОХ на участке от 0 до 40 мм, расположенных на равных расстояниях, от величин горизонтальных перемещений u для трёх разбиений

Вывод

Был изучен метод конечных элементов, также была решена плоская задача теории упругости с использованием с треугольных элементов с помощью программы ProFEM. Решение было выполнено с тремя разными количествами разбиений (3, 5 и 7 соответственно). В результате была получена зависимость координат х узлов от перемещений u в сечении ОХ на отрезке от 0 до 40мм для разбиений 3, 5 и 7; с увеличением величины разбиения решение приближается к точному.

13