7. Этапы построения математической модели

Моделирование вообще и математическое, в частности, процесс достаточно сложный и творческий. Тем не менее, наука с годами выработала некоторую общую схему проведения исследований посредством математического моделирования и рекомендует определенную последовательность этапов построения математических моделей. Всегда ли нужно браться за создание новой модели? Нет. Математические модели, особенно использующие численные методы и вычислительную технику, требуют для своего создания значительных интеллектуальных и временных затрат. Поэтому если есть другая возможность, разумно ею воспользоваться. Например, модификации одной из существующих моделей. Однако рано или поздно Вы выйдете за рамки существующих решений и понадобится что-то новое.

1. принятие решения о создании модели и формирование рабочей группы.

2. Теперь можно приступать к этапу обследования объекта моделирования. Этап обследования включает • тщательное обследование собственно объекта моделирования с целью выявления основных факторов, механизмов, определяющих его поведение, определения соответствующих параметров, позволяющих описывать моделируемый объект, • сбор и проверка имеющихся экспериментальных данных об объектах-аналогах, проведение при необходимости дополнительных экспериментов, • аналитический обзор литературных источников, анализ и сравнение между собой построенных ранее моделей данного объекта (или подобных рассматриваемому объекту), • анализ и обобщение всего накопленного материала, разработка общего плана создания математической модели.

3. Содержательная постановка задачи моделирования, которая, как правило, не бывает окончательной и может уточняться и конкретизироваться в процессе разработки модели. Источником информации для постановщика могут служить беседы с представителями заказчика, а также модели, разработанные ранее. На основании анализа всей собранной информации постановщик задачи должен сформулировать такие требования к будущей модели, которые, с одной стороны, удовлетворяли бы заказчика; с другой стороны, реализация модели должна быть осуществлена в заданные сроки в рамках выделенных материальных средств. Весь собранный в результате обследования материал оформляются в виде технического задания на проектирование и разработку модели. Это итоговый документ, заканчивающий этап обследования.

4. Концептуальная постановка задачи моделирования. Проводится она внутри рабочей группы на основе технического задания. Строго говоря, концептуальная постановка задачи моделирования – это сформулированный в терминах конкретных дисциплин (физики, химии, биологии и т.д.) перечень основных вопросов, интересующих заказчика, а также совокупность гипотез относительно свойств и поведения объекта моделирования. Таким образом, главное в концептуальной постановке – правильно сформулировать предположения и гипотезы. Для построения концептуальной модели формулируется совокупность гипотез о поведении объекта, его взаимодействии с окружающей средой, изменении внутренних параметров

5. Математическая постановка. Это совокупность математических соотношений, описывающих поведение и свойства объекта моделирования. Какие «математические соотношения»? Какие угодно. Некоторые задачи приводят к системе линейных алгебраических уравнений. Это простейший случай. Другие потребуют решения нелинейных уравнений и систем. В ряде случаев математическая постановка содержит обыкновенные дифференциальные уравнения. И, наконец, наиболее трудный и частый в математическом моделировании случай – интегральные уравнения, уравнения в частных производных и их системы.

А если при выписывании формул допущена ошибка?

Мы получим некорректную математическую модель. К счастью, существуют методики предварительной проверки корректности модели, суть которых – в выполнении ряда проверок и контроля: проверка размерности, порядков, граничных условий, контроль экстремальных ситуаций и физического смысла и так далее.

Как правило, постановка задачи приводит к уравнениям, которые необходимо решать: трансцендентным, дифференциальным, интегральным. Методов решений таких задач множество, но каждый имеет свои особенности и область приложения, а следовательно, от того, какой из них будет использован, зависит в конечном счете успех решения. Нередки случаи, когда ошибка в выборе метода сводила на нет все предыдущие усилия. Поэтому выбор и обоснование выбора метода решения представляют собой отдельный этап. Выбор того или иного метода исследования в значительной степени зависит от квалификации и опыта членов рабочей группы. Аналитические методы, в результате которых решение представляет собой аналитическую зависимость, формулу, более удобны для последующего анализа результатов, но применимы лишь для относительно простых моделей. В случае, если соответствующая математическая задача (хотя бы и в упрощенной постановке) допускает аналитическое решение, последнее, без сомнения, предпочтительнее численного. Численный методы требуют привлечения компьютеров. Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной.

Выделяют три основных составляющих возникающей погрешности при численном решении исходной задачи:

• неустранимая погрешность, связанная с неточным заданием исходных данных задачи (начальные и граничные условия, коэффициенты, правые части уравнений и так далее);

• погрешность метода, связанная с переходом к дискретному аналогу исходной задачи

• ошибка округления, связанная с конечной разрядностью чисел, представляемых в компьютере.

Величина погрешности может от действия к действию нарастать или не нарастать (а в некоторых случаях - даже уменьшаться). Если погрешность в процессе вычислений неограниченно нарастает, то такой алгоритм называется неустойчивым или расходящимся. В противном случае алгоритм называется устойчивым или сходящимся.

Реализация математической модели на компьютере

Процесс создания программного обеспечения (программы) тоже можно разбить на ряд этапов:

• разработка технического задания на создание программного обеспечения;

• проектирование структуры программного комплекса;

• кодирование алгоритма;

• тестирование и отладка;

• сопровождение и эксплуатация.

Анализ результатов Это заключительный этап. Анализ модели преследует несколько целей:

• обозначить область применения модели

• проверить обоснованность гипотез

• оценить возможность упрощения модели с целью повышения ее эффективности

• показать, в каком направлении следует развивать модель.