3.6.2 Модель Энгсета
Модель Энгсета (рисунок 3.12) применяется, как правило, для расчета вероятности потерь при малом количестве источников вызовов и справедлива при таких предположениях:
- вызовы, поступающие на вход системы, образуют примитивный поток, поэтому параметр потока вызовов в момент занятости х каналов системы пропорционален числу свободных источников вызовов, т.е.
,
,
где - общее число источников вызовов;
- интенсивность поступления вызовов от
свободного источника;
- длительность занятия подчиняется экспоненциальному распределению с параметром , параметр потока освобождений ;
- вызов, не принятый к обслуживанию в момент поступления, теряется, не влияя на моменты поступления последующих вызовов;
- любой из V выходов пучка доступен, когда он свободен, для любого поступающего вызова.
- исходной для расчета является поступающая нагрузка;
- система находится в стационарном режиме.
Рисунок 3.12 – Диаграмма переходов, соответствующая модели Энгсета
Подставляя значения параметров и , в выражение (3.6), получим
где 
- максимальное значение поступающей
интенсивности нагрузки;
.
Вероятность занятия всех линий пучка
(3.7)
где 
.
Выражение (3.7) определяет вероятность потерь по времени и носит название формулы Энгсета. Полученный результат позволяет рассчитать вероятность, того, что будут заняты все каналы, т.е. система окажется заблокированной.
Параметр потерянного потока вызовов:
Вероятность потерь по вызовам определяется как отношение параметра потерянного потока вызовов к среднему значению параметра поступающего потока вызовов
.
(3.8)
Вероятность потерь по нагрузке определяется выражением
.
Таким образом, в
пучке емкостью
каналов, на который поступает примитивный
поток вызовов, потери по вызовам при
наличии
источников равны потерям по времени
при наличии
источников, т.е.
.
З наведених виражень видно, що для ймовірностей втрат справедлива нерівність
.
Прямой расчет формулы Энгсета во многих практических случаях может быть затруднен. Поэтому для расчета пользуются рекурентным соотношением
,
последовательно
вычисляя
,
,
…,
при начальном значении
.
Выражение (3.8),
определяющее вероятность потерь по
вызовам
,
табулировано для широкого диапазона
значений
.
По этим же таблицам определяют вероятность
потерь по времени, исходя из равенства
.
Соотношение
между параметром потока
и нагрузкой, поступающей от одного
источника
.
Рассмотрим
систему без потерь, т.е. систему, в которой
число каналов равно числу источников
вызовов (
).
В такой
системе каждый источник вызовов может
обслуживаться независимо от состояния
других источников. Поэтому достаточно
рассмотреть случай
.
При этом можно получить, что
,
.
Вероятность
в рассматриваемом случае есть доля
времени, в течение которого источник в
системе без потерь занят, что численно
соответствует интенсивности нагрузки
,
поступающей от одного источника
,
где 
- реальный параметр потока вызовов,
поступающего от источника вызовов при
отсутствии потерь;
- среднее время занятия.
Учитывая, что
,
можно записать
,
откуда
.
Поэтому при
численных расчетах осуществляют замену
вида
.
Общая поступающая нагрузка при этом будет равна
.
Среднее число занятых каналов (обслуженная нагрузка):
.
И в заключение, рассмотрим графики для вероятностей потерь по вызовам для моделей Энгсета и Эрланга, приведенные на рисунке 3.13 (для модели Эрланга потери по времени, вызовам и нагрузке совпадают),
Рисунок 3.13 – Вероятности потерь по вызовам
для моделей Эрланга и Энгсета
Из рисунка 3.13 следует, что вероятность потерь по вызовам, полученная при помощи формулы Энгсета несколько меньше, чем вероятность потерь по вызовам полученная в соответствии с формулой Эрланга.
Таким образом,
модель Энгсета часто применяется для
расчета вероятности потерь при небольшом
числе источников вызовов. В этих случаях
уменьшение интенсивности входного
потока за счет исключения источника,
который получил обслуживание, оказывается
существенным. При большом количестве
источников доля интенсивности входного
потока от каждого из них по сравнению
с обшей интенсивностью оказывается
незначительной. В этих случаях результаты
расчета по формулам Эрланга и Энгсета
будут весьма близкими. В пределе, при
,
а
формула Энгсета непосредственно
переходит в формулу Эрланга.