Вопросы для самоконтроля.

16. Как определяется сумма задолженности перед i-м банком (К_i) за весь период использования заемных средств?

17. Как формулируется целевая функция в модели распределения заемных средств по направлениям вложения при общей схеме погашения долга?

18. В чем заключается отличие целевой функции модели распределения кредитных ресурсов при различных условиях погашения задолженности?

19. Как в модели распределения средств учтены особенности начисления банком сложных процентов?

20. Можно ли применять рассматриваемые модели распределения заемных средств вместе с моделями расчета денежного запаса компании?

21. Какие усовершенствования рассмотренных моделей Вы можете предложить?

22. Какие особенности вывода формулы наращенной суммы Вы видите при погашении долга равными срочными выплатами?

23. Как формулируется вывод формулы наращенной суммы при погашении кредита равными выплатами основного долга?

24. В чем заключается смысл целевой функции в модели распределения средств при условии погашения займа выплатами основного долга, возрастающими варифметической прогрессии?

25. Как изменятся коэффициенты при неизвестных в целевой функции при погашении долга аннуитетами ренты пренумерандо?

Тема 4. Система моделей управления денежными запасами и материальными потоками

Рассмотрим методику расчета многопродуктовых поставок с учетом привлечения заемных средств на пополнение запасов, альтернативных издержек вложения капитала и ограничения величины денежных средств на приобретение запасов. Разработанная методика включает модель могопродуктовой задачи и реализуется в три этапа.

Этап 1. Рассчитываются оптимальные партии поставок S_oi по каждому i–му виду продукции (i = 1, 2, …, N) по формуле [7]:

, (4.1)

где C_ni – цена единицы продукции, хранимой на складе, руб; C_оi – затраты на выполнение одного заказа, руб; f – доля от цены C_ni, приходящейся на затраты по хранению, руб; А_i – потребность в запасах в течение рассматриваемого периода.

Этап 2. Затраты, связанные с закупкой запасов, сравниваются с капиталом, выделенным на приобретение запасов. Размер выделенного капитала В ограничен, но компания имеет возможность привлекать заемные средства К на пополнение материальных ресурсов:

, (4.2)

где k – коэффициент, введенный для учета неодновременности поступления i–х видов продукции и удовлетворяющий условию: 0<k≤1.

Если неравенство (4.2) соблюдается при К = 0, то оптимальные партии поставок рассчитываются по формуле (4.1).

Ограничение на капитал без учета возможности кредитования выглядит так:

. (4.3)

При нулевой величине заемных средств выражение (4.2) превращается в (4.3).

Этап 3. В случае невыполнения условия (4.2) при нулевом объеме привлеченных средств К для расчета оптимального размера поставки применим метод множителей Лагранжа. Следует отметить, что полные издержки компании включают не только затраты на выполнение заказов и затраты на хранение запаса на складе (F₁), но также альтернативные издержки вложения капитала в запасы и процентные платежи за предоставленный кредит (F₂):

. (4.4)

при этом:

,

,

где Е_кр – ставка, по которой начисляются проценты за полученный кредит, % в год в долях единицы; Т_кр – срок кредита в годах; j – номер вложения капитала в j-й актив (j = 1, 2, …, m) доходностью Е_дj, (% в день в долях единицы), от которого придется отказаться на период планирования Т_д (в днях), направив денежные средства на приобретение запасов; l_i – доли (в процентах от суммы выделенного капитала В и заемных средств К), отражающие объем средств, которые могут быть выделены на конкретное финансовое вложение, в долях единицы (i = 1, 2, …, N).

Исходное уравнение запишем в следующем виде:

, (4.5)

где z – неопределенный множитель Лагранжа.

Дифференцируя (4.5) последовательно по S_i, затем по К и z, а затем проводя преобразования получаем формулу расчета размера необходимых заемных средств К:

. (4.7)

Размер оптимальной партии поставок равен:

. (4.8)

Рассмотрим полные издержки компании, включающие затраты на выполнение заказов, на хранение запаса на складе, альтернативные издержки вложения капитала в запасы и процентные платежи за привлеченные заемные средства. Подставив формулы для расчета оптимальной партии поставки и величины заемных средств и проведя преобразования, получаем выражение для определения полных издержек компании:

. (4.9)

Договор банковского кредита может предусматривать различные условия погашения задолженности. Рассмотрим погашение кредита равными выплатами основного долга.

С учетом ранее принятых обозначений расчет величины платежа П_z (в периоде z) при условии погашения кредита равными выплатами основного долга будет производиться по формуле:

, (4.10)

где z − номер платежного периода по условию кредитного контракта с банком на приобретение запасов (z = 1, 2, …, Т_крV); V – количество платежных периодов в году.

Прозведение Т_крV равно общему количеству платежных периодов за весь срок кредита продолжительностью Т_кр лет. Для дальнейшего анализа приведем зависимость наращенной суммы долга от величины кредита. Наращенная сумма кредиторской задолженности банку за предоставленные заемные средства в этом случае вычисляется по формуле:

. (4.11)

Следовательно, процентные платежи, выплачиваемые компанией банку за заемные средства, предоставленные на пополнение материальных запасов, в случае погашения кредита равными выплатами основного долга (I_e), равны:

. (4.12)

Поэтому альтернативные издержки вложения капитала в запасы и процентные платежи за предоставленный кредит (F₂) запишем так:

. (4.13)

Размер оптимальной партии поставок, если кредит погашается равными выплатами основного долга, рассчитывается по формуле:

. (4.14)

Размер привлеченных ресурсов определяется так:

. (4.15)

Если погашение основного долга осуществляется равными ежегодными платежами П в конце расчетного периода, то альтернативные издержки вложения капитала в запасы и процентные платежи за предоставленный кредит (F₂) в отличие от формулы (4.4) запишем по-другому:

. (4.16)

При этом расчет процентных платежей банку (I_a) производится исходя из того, что равные платежи П являются аннуитетами ренты постнумерандо. Значит, процентные выплаты равны:

. (4.17)

Если кредиторская задолженность погашается аннуитетами ренты постнумерандо, то оптимальный размер партии поставок S_i и объем заемных средств К равны соответственно:

, (4.18)

. (4.19)

Рассматриваемая методика позволяет планировать многопродуктовые поставки с учетом ограничения на размер капитала и возможности привлечения заемных средств для пополнения запаса материальных ресурсов. Модель, разработанная на основе методики, преодолевает недостаток многономенклатурных моделей, учитывающих только ограничения на величину издержек хранения запасов и в упрощенном виде временную стоимость денег (без указания направления альтернативного вложения капитала).

Пример 4.1.

Рассчитаем оптимальные партии многопродуктовых поставок при условии, что компания имеет возможность привлечь заемные средства на приобретение товарно-материальных ценностей сроком на Т_кр = 1 год по ставке 18 % годовых, и величина затрат на закупку запасов превышает 2 500 тыс. руб. Проценты за пользование кредитом возвращаются в конце срока кредитного договора вместе с выплатой основного долга. Исходные данные, характеризующие поставки трех видов продукции представлены в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Исходные данные и результаты расчетов при независимых однопродуктовых поставках

Параметры	Вид продукции
	1	2	3
Потребность в заказываемом продукте Аi, ед.	30 000	5 000	12 000
Цена единицы продукции Cni, тыс. руб.	10	4,5	2
Затраты на хранение Cnif при f=0,2, тыс. руб.	2	0,9	0,4
Затраты на выполнение одного заказа Coi, тыс. руб.	20	20	20
Размер партии заказа при независимых однопродуктовых поставках Soi, тыс. руб.	775	471	1 095
Затраты на закупку запасов SoiCni с учетом k=0,5, тыс. руб.	3 873	1 061	1 095

Кроме того, компания может приобрести ценные бумаги различной доходности в год: Е_д1 = 24 %; Е_д2 = 16 %; Е_д3 = 10 %.

Доли (в процентах от C), отражающие объем средств, которые могут быть выделены на конкретное финансовое вложение, т. е. для l_i: l₁ = 20 %; l₂ = 35 %; l₃ = 45 %.

При вложении денежных средств в запасы компании придется отказаться от возможности финансовых инвестиций на период планирования Т_д = 90 дней.

При подстановке величин доходности в формулы (4.7) – (4.19) значения Е_д1, Е_д2, Е_д3 делятся на 365, чтобы получить соответствующие значения доходности Е_дi в день (в долях единицы).

Суммарные затраты на приобретение запасов составили 6 029 тыс. руб. при k=0,5 (последняя строка табл. 4.1). Следовательно, условие (4.3) не выполняется и требуется рассчитать оптимальные партии многопродуктовых поставок с учетом привлечения кредитных ресурсов банка.

Проведя расчеты по формуле (4.8), получаем оптимальные партии многопродуктовых поставок S_оi, составляющие (ед.):

S_o1 = 537; S_o2 = 327; S_o3 = 759.

При этом объем финансовых ресурсов К, который компания планирует привлечь на приобретение запасов, рассчитан по формуле (4.7) и достигает 1 677 тыс. руб. Общая величина затрат на закупку запасов составляет 4 177 тыс. руб.

Пример 4.2.

Рассчитаем оптимальные партии многопродуктовых поставок, используя исходные данные и результаты расчетов при независимых однопродуктовых поставках и данные по доходности ценных бумаг и формированию инвестиционного портфеля из примера 4.1. (табл. 4.1.). Компания имеет возможность привлечь заемные средства на приобретение товарно-материальных ценностей сроком на Т_кр = 1 год по ставке также 18 % годовых при погашении кредита равными выплатами основного долга. Количество платежных периодов в год V равно 12.

Величина затрат на закупку запасов превышает 2 500 тыс. руб. (данные примера 4.1.), поэтому условие (4.3) не выполняется и требуется рассчитать оптимальные партии многопродуктовых поставок с учетом привлечения кредитных ресурсов банка.

Проведя расчеты по формуле (4.14), получаем оптимальные партии многопродуктовых поставок S_оi, составляющие (ед.):

S_o1 = 599; S_o2 = 365; S_o3 = 847.

При этом объем финансовых ресурсов К (4.15), который компания планирует привлечь на приобретение запасов, достигает 2 164 тыс. руб. Общая величина затрат на закупку запасов составляет 4 664 тыс. руб. Это показывает, что условия кредитования в этом примере более выгодные для компании, чем в примере 4.1.

Таблица 4.2

Параметры модели многопродуктовых поставок при различных условиях кредитования

Наименование параметра	Значениепараметра
Условие кредитования	Погашение основного долга и начисленных простых процентов в конце срока кредита	Погашение кредита равныеми выплатами основного долга	Погашение кредита равными платежами по формуле аннуитета ренты постнумерандо
Срок кредита Ткр, лет	1	1	1
Количество платежных периодов V	12	12	12
Процентная ставка, % годовых	18	18	18
So1 , ед.	537	599	604
So2 , ед.	327	365	367
So3 , ед.	759	847	854
Объем заемных средств К, тыс. руб.	1 677	2 164	2 199
Процентный платеж, тыс. руб.	302	211	204
Общая величина затрат на закупку запасов, тыс. руб.	4 177	4 664	4 699

Пример 4.3.

Используем данные примера 4.1. также, как это было сделано в примере 4.2., и рассчитаем оптимальные партии многопродуктовых поставок для других условий кредитования. Срок кредита и процентная ставка не изменятся: Т_кр = 1 года и Е_кр = 18 % годовых. Погашение задолженности по кредиту осуществляется равными платежами П в конце расчетных периодов исходя из того, что платежи П являются аннуитетами ренты постнумерандо. Количество платежных периодов в год V равно 12, как и в примере 4.2.

Условие (4.3) не выполняется (затраты на закупку запасов превышают 2 500 тыс. руб.) и требуется рассчитать оптимальные партии многопродуктовых поставок с учетом привлечения заемных средств.

Проведя расчеты по формуле (4.18), получаем оптимальные партии многопродуктовых поставок S_оi, составляющие (ед.):

S_o1 = 604; S_o2 = 367; S_o3 = 854.

При этом объем финансовых ресурсов К, рассчитанный по формуле (4.19), достигает 2 199 тыс. руб. Общая величина затрат на закупку запасов составляет 4 699 тыс. руб.

Результаты расчетов параметров модели в примерах 4.1 – 4.3 приведены в табл. 4.2.

Процентный платеж за пользование заемными средствами уменьшается при переходе последовательно от условия погашения кредита в конце срока по простым процентам (302 тыс. руб.), затем к условию погашения равными выплатами основного долга (211 тыс. руб.) и, наконец, к погашению кредита равными платежами по формуле аннуитета (204 тыс. руб.). Следовательно, в примере 4.3. при условии аннуитета компании предлагаются наиболее выгодные условия кредитования по сравнению с рассматриваемыми в примерах 4.1 – 4.2. Это приводит к макисмальному объему кредитования и большим размерам партий многопродуктовых поставок.