Вопросы для самоконтроля.

11. Какие можно выделить основные этапы формирования теории управления денежным запасом?

12. В чем заключается суть подхода Ф. Харриса к оптимизации размера партии заказа?

13. По какому признаку проведена классификация моделей расчета денежного запаса?

14. В чем заключается сходство целевой функции полных издержек моделей Баумоля и Миллера-Орра?

15. Какую аналогию можно провести между моделями расчета денежного запаса и размера заказа в цепях поставок?

Тема 3. Распределение денежных средств по объектам финансирования

3.1. Транспортная модель распределения заемных средств

Под термином «транспортные задачи» понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим для этого класса задач является распределение находящихся у поставщиков ресурсов по потребителям.

Рассмотрим математическую модель.

Цель задачи состоит в минимизации суммарных затрат на обслуживание кредиторской задолженности перед банками за привлеченные заемные средства. Эта цель может быть достигнута с помощью оптимального планирования долгового финансирования.

Параметры задачи – число кредитных организаций (банков) и наименований материалов, ограничение на предложение и спрос на капитал, ставка процентов на привлеченный капитал.

Ограничения задачи – это ограничения на предложение и спрос на финансовые ресурсы. Предложение заемного капитала не должно превышать объем средств, предоставляемых банком. Спрос на капитал для пополнения каждого наименования материалов, должен быть удовлетворен.

За неизвестные можно принять объем финансовых ресурсов, привлекаемых от каждого банка на приобретение материалов определенного наименования. Пусть x_ij – объем финансовых ресурсов (млн руб.), предоставленных i-м банком на приобретение материалов j-го наименования.

В общем случае рассматриваемая задача принимает следующий вид:

– имеется m банков и n наименований материалов;

– предложение каждого i-го банка составляет d_i единиц;

– спрос на приобретение материалов j-го наименования составляет b_j единиц;

– ставки процентов годовых за предоставленные финансовые ресурсы задаются в процентном отношении и равны Е_ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

Требуется определить оптимальный план финансирования закупок материалов (т. е. объемы финансовых ресурсов, направляемых от каждого банка на приобретение материалов каждого наименования), при котором величина суммарных затрат на обслуживание задолженности (К) перед банками минимальна.

Сумма задолженности перед i-м банком (К_i) за весь период использования заемных средств равна наращенной сумме долга компании этому банку:

, (3.1)

где − множитель наращения долга компании i-му банку.

Общая сумма задолженности компании (К) равняется сумме задолженностей перед этими банками. При этом предполагается общая схема погашения задолженности перед банком, т. е. возврат денежных средств банку вместе с начисленными процентами в конце срока погашения кредита. Следовательно:

(3.2)

Пусть x_ij – объем финансовых ресурсов, предоставленных i-м банком на приобретение материалов j-го наименования.

Формально задача записывается следующим образом. Целевая функция:

(3.3)

Ограничения:

(3.4)

Естественно, что в реальных задачах суммарное предложение может быть больше или меньше суммарного спроса. В этом случае мы будем говорить, что составлена несбалансированная модель.

Можно использовать транспортную схему для решения рассматриваемой задачи в такой постановке. При этом составляется матрица процентных ставок (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Матрица ставок процентов годовых за финансовые ресурсы, предоставленные i-м банком на приобретение материалов j-го наименования

Банки	Ставки процентов (%) за финансовые ресурсы, предоставленные i-м банком на приобретение материалов j-го наименования						Предло-жение капитала
	1	2	…	j	…	n
1	Е11	Е12	…	Е1j	…	Е1n	d1
2	Е21	Е22	…	Е2j	…	Е2n	d2
…	…	…	…	…	…	…	…
i	Еi1	Еi2	…	Еij	…	Еin	di
…	…	…	…		…	…	…
m	Еm1	Еm2	…	Еmj	…	Еmn	dm
Спрос на капитал	b1	b2	…	bj	…	bn

Требуется определить оптимальный объем заемных финансовых ресурсов, предоставленных i-м банком на приобретение материалов j-го наименования, так, чтобы суммарная величина задолженности всем банкам была минимальна при существующих ограничениях на предложение и спрос на капитал.

Пример 3.1.

Предположим, что распределительная электросетевая компания для обеспечения производственного процесса использует некоторые материалы. Допустим, что планируется привлечение долгового финансирования для пополнения запасов материалов пяти наименований:

1) кабель АСБ2л;

2) опоры железобетонные СВ-95;

3) опоры железобетонные СВ-110;

4) изоляторы ПС70;

5) масло трансформаторное осушенное.

Спрос на капитал для пополнения запасов материалов каждого наименования соответственно составляет: 3,7; 2,4; 1,6; 1,5 и 2,3 млн руб. Четыре банка предоставляют заемные средства на пополнение запасов по договору складского финансирования. Ограничения на кредиты банков равны: 4,2; 2,3; 1,4 и 3,6 млн руб.

Запасы материалов каждого наименования могут пополняться за счет средств, привлекаемых от любого банка, но по различным процентным ставкам (табл. 3.2).

Таблица 3.2

Ставки процентов годовых за финансовые ресурсы, предоставленные i-м банком на приобретение материалов j-го наименования

Банки	Ставки процентов (%) за финансовые ресурсы, предоставленные на приобретение материалов j-го наименования (j = 1, 2, …, 5)					Предло-жение, млн руб.
	1	2	3	4	5
1	13	11	11,9	12	14	4,2
2	15	11,5	13	14	14	2,3
3	12	14,5	12,4	11,7	13,4	1,4
4	12,8	14,7	11,1	14	11	3,6
Спрос, млн руб.	3,7	2,4	1,6	1,5	2,3

Вычислив выражение в скобках для соответствующих ставок процентов в (3.3), можно записать задачу в математической формулировке:

К = 1,13 x₁₁ + 1,11 x₁₂ + 1,12 x₁₃ + 1,12 x₁₄ + 1,14 x₁₅ + 1,15 x₂₁ + + 1,12 x₂₂ +1,13 x₂₃ + 1,14 x₂₄ + 1,14 x₂₅ + 1,12 x₃₁ + 1,15 x₃₂ + + 1,12 x₃₃ + 1,12 x₃₄ + 1,13 x₃₅ + 1,13 x₄₁ + 1,15 x₄₂ + 1,11 x₄₃ + +1,14 x₄₄ + 1,11 x₄₅ → min.

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ + x₁₄ + x₁₅ = 4,2

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ + x₂₄ + x₂₅ = 2,3

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ + x₃₄ + x₃₅ = 1,4

x₄₁ + x₄₂ + x₄₃ + x₄₄ + x₄₅ = 3,6

x₁₁ + x₂₁ + x₃₁ + x₄₁ = 3,7 (3.5)

x₁₂ + x₂₂ + x₃₂ + x₄₂ = 2,4

x₁₃ + x₂₃ + x₃₃ + x₄₃ = 1,6

x₁₄ + x₂₄ + x₃₄ + x₄₄ = 1,5

x₁₅ + x₂₅ + x₃₅ + x₄₅ = 2,3

4,2 + 2,3 + 1,4 + 3,6 = 3,7 + 2,4 + 1,6 + 1,5 + 2,3 = 11,5

x _ij ≥ 0, i = 1, 4; j = 1, 5

Решив задачу, мы получим табл. 3.3.

Суммарный спрос на капитал полностью удовлетворен и равен:

Видно, что при удовлетворении спроса на капитал для приобретения всех материалов, суммарное предложение кредитных организаций будет использовано на 100 %.

Таблица 3.3

Транспортная таблица, полученная в результате решения задачи планирования складского финансирования, млн руб.

Банки	Финансовые ресурсы, предоставленные i-м банком на приобретение материалов j-го наименования						Предло-жение
	1	2	3	4	5		di
1	2,3	0,1	0,3	1,5	0	4,2	4,2
2	0	2,3	0	0	0	2,3	2,3
3	1,4	0	0	0	0	1,4	1,4
4	0	0	1,3	0	2,3	3,6	3,6
Спрос	3,7	2,4	1,6	1,5	2,3	11,5	11,5
bj	3,7	2,4	1,6	1,5	2,3	11,5	100 %

Минимальная сумма кредиторской задолженности компании по договору складского финансирования в этом случае будет равна 12,86 млн руб.