Задание 1
Написать
программу решения дифференциального
уравнения
методом Эйлера на отрезке
с шагом
и 2h
и начальным условием
.
Исходные данные для выполнения задания
берутся из таблицы 5.1. Сравнить результаты.
Задание 2
Написать программу решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта на отрезке с шагом и 2h и начальным условием . Оценить погрешность по формуле (5.5). Исходные данные для выполнения задания берутся из таблицы 5.1.
Примерный фрагмент выполнения лабораторной работы на Maple
Решить дифференциальное уравнение y’=f(x,y) методом Эйлера на отрезке [a,b] с шагом h c начальным условием y(a)=y0 , f(x,y)=(x-y)/(x+y), a=0, b=1, h=0.1, y0=1.
> x:=array(0..10): y:=array(0..10):
> x[0]:=0: y[0]:=1: h:=0.1:
> for i from 0 to 9 do x[i+1]:=x[0]+h*i; y[i+1]:=y[i]+h*(x[i]-y[i])/(x[i]+y[i]); end do;
Команда решения дифференциального уравнения будет иметь вид dsolve(eq, vars, type=numeric, options), где eq – уравнения, vars – список неизвестных функций, options – параметры, позволяющие указать метод численного интегрирования дифференциального уравнения. В Maple реализованы такие методы: method=rkf45 - метод Рунге-Кутта-Фельберга 4-5-ого порядка (установлен по умолчанию); method=dverk78 – метод Рунге-Кутта 7-8 порядка; mtthod=classical – классический метод Рунге-Кутта 3-его порядка; method=gear и method=mgear – одношаговый и многошаговый методы Гира.
График численного решения дифференциального уравнения можно построить с помощью команды odeplot(dd, [x,y(x)], x=x1..x2), где в качестве функции используется команда dd:=dsolve({eq,cond}, y(x), numeric) численного решения, после нее в квадратных скобках указывают переменную и неизвестную функцию [x,y(x)], и интервал x=x1..x2 для построения графика.
> restart;
> eq:=diff(y(x),x)=(x-y(x))/(x+y(x));
> de:=dsolve({eq,y(0)=1},y(x),numeric);
> de(0.9);
> with(plots):
Warning, the name changecoords has been redefined
> odeplot(de,[x,y(x)],0..1,thickness=2);
>
Таблица 5.1
N |
Функция |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
1 |
0.1 |
2 |
|
3 |
4 |
1 |
0.1 |
3 |
|
0 |
1 |
2 |
0.1 |
4 |
|
2 |
3 |
1 |
0.1 |
5 |
|
1 |
2 |
1 |
0.1 |
6 |
|
0 |
1 |
1 |
0.1 |
7 |
|
0 |
1 |
2 |
0.1 |
8 |
|
0 |
1 |
1 |
0.1 |
9 |
|
2 |
3 |
2 |
0.1 |
10 |
|
0 |
1 |
3 |
0.1 |
11 |
|
1.5 |
2.5 |
2.2 |
0.1 |
12 |
|
1 |
2 |
1 |
0.1 |
13 |
|
0.1 |
1.1 |
1.25 |
0.1 |
14 |
|
1 |
2 |
0 |
0.1 |
15 |
|
3 |
4 |
1.7 |
0.1 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Проверить для дифференциального уравнения условия теоремы существования и единственности.
2. На какие основные группы подразделяются приближенные методы решения дифференциальных уравнений?
3. В какой форме можно получить решение дифференциального уравнения по методу Эйлера?
4. Каков геометрический смысл решения дифференциального уравнения методом Эйлера?
5. В какой форме можно получить решение дифференциального уравнения по методу Рунге-Кутта?
6. Какой способ оценки точности используется при приближенном интегрировании дифференциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта?
7. Как вычислить погрешность по заданной формуле, используя метод двойного пересчета?