Расчёт частных коэффициентов корреляции. Сравнение частных и парных коэффициентов корреляции.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют взаимосвязь между двумя выбранными переменными при исключении влияния остальных показателей (т.е. характеризуют «чистую» связь только между этими признаками) и важны для понимания взаимодействия всего комплекса показателей, т.к. позволяют определить механизмы усиления-ослабления влияния переменных друг на друга.

Частный коэффициент ( )-го порядка между переменными, например, между и , равен:

где - алгебраическое дополнение элемента корреляционной матрицы , равное

- минор элемента корреляционной матрицы , т.е. определитель матрицы на единицу меньшего порядка, полученной из путём вычёркивания -й строки и -го столбца.

Для расчета частных коэффициентов корреляции нужно сформировать в Excel соответствующие матрицы размерности (для нашего примеры .

_{Например, алгебраическое дополнение рассчитывается следующим образом}:

	1	2	3	4	5
1	1	-0,37281	0,471992	-0,2998	-0,38483
2	-0,37281	1	0,196509	-0,23338	0,021751
3	0,471992	0,196509	1	-0,656	-0,067
4	-0,2998	-0,23338	-0,656	1	0,027049
5	-0,38483	0,021751	-0,067	0,027049	1

Аналогично

Чтобы найти определители этих матриц используется функция Excel:

Вставка – Функция – Математические – мопред

(указать в качестве массива соответствующую матрицу переменных). Воспользовавшись функцией получаем:

= -(-0,2562274)

= 0,5316755

= 0,3679652

Подставив значения в формулу, получаем -0,5792937

Аналогично проводятся расчеты для всех остальных частных коэффициентов корреляции.

= -0,2629254

= -(-0,0416817)

= 0,1784797

= - 0,1469039

= 0,0640974

= - (-0,0780138)

= - (-0,2423004)

= - 0,0647635

= - (-0,0212902)

= 0,5384722

= 0,4160485

= 0,2916582

тогда

0,491391

0,088624

0,45324

0,330026 и т.д.

Получим матрицу следующего вида:

Таблица 6

Матрица частных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей

	1,000000	-0,579294	0,491391	-0,088624	-0,453240
	-0,579294	1,000000	0,330026	-0,163819	-0,238139
	0,491391	0,330026	1,000000	-0,511918	0,163422
	-0,088624	-0,163819	-0,511918	1,000000	-0,061118
	-0,453240	-0,238139	0,163422	-0,061118	1,000000

Теперь необходимо проверить значимость полученных частных коэффициентов корреляции.

Для этого рассчитаем наблюдаемые значения -статистик для всех коэффициентов по формуле:

где - порядок частного коэффициента корреляции, совпадающий с количеством фиксируемых переменных случайных величин (в нашем случае =3), а - количество наблюдений.

Построим матрицу наблюдаемых значений -статистик для всех коэффициентов /(…) (таб.6).

Таблица 7

Матрица наблюдаемых значений -статистик частных коэффициентов корреляции

исследуемых экономических показателей

		-3,553431	2,8210443	-0,4448696	-2,5423262
	-3,553431		1,74807151	-0,8303141	-1,2259651
	2,8210443	1,74807151		-2,9796146	0,82824632
	-0,4448696	-0,8303141	-2,97961463		-0,3061634
	-2,5423262	-1,2259651	0,82824632	-0,3061634

Наблюдаемые значения -статистик необходимо сравнить с критическим значением , найденным для уровня значимости =0,05 и числа степеней свободы .

Для этого используем встроенную статистическую функцию Excel СТЬЮДРАСПОБР, введя в предложенное меню вероятность =0,05 и число степеней свободы = =30-3-2=25. (Можно найти значения по таблицам математической статистики (см. таблицы).

Сравним расчетное значение с критическим. Определим какие коэффициенты значимы. Получим матрицу частных коэффициентов корреляции с выделенными значимыми коэффициентами (табл. 8)

Для значимых частных коэффициентов корреляции можно построить с заданной надёжностью интервальную оценку с помощью -преобразования Фишера. (См формулы в тетради). (табл. 9)

Таблица 8

Матрица частных коэффициентов корреляции исследуемых показателей

с выделением значимых коэффициентов (при =0,05)

	1,000000	-0,579294	0,491391	-0,088624	-0,453240
	-0,579294	1,000000	0,330026	-0,163819	-0,238139
	0,491391	0,330026	1,000000	-0,511918	0,163422
	-0,088624	-0,163819	-0,511918	1,000000	-0,061118
	-0,453240	-0,238139	0,163422	-0,061118	1,000000

Таблица 9

Расчёт доверительных интервалов для частных генеральных коэффициентов корреляции исследуемых экономических показателей с надёжностью =0,95

	r	Zr	Zmin	Zmax	rmin	rmax
YX1	-0,57929	-0,66140	-0,99715	-0,32564	-0,76039	-0,31460
YX2	0,491391	0,537893	0,202139	0,873647	0,199430	0,703223
YX4	-0,45324	-0,48877	-0,82453	-0,15302	-0,67753	-0,15183
X2X3	-0,51192	-0,56533	-0,90108	-0,22957	-0,71682	-0,22562

Теперь построим таблицу сравнения выборочных парных и частных коэффициентов корреляции для всех переменных.

Таблица 10

Таблица сравнения выборочных оценок парных и частных коэффициентов корреляции

исследуемых показателей с выделением значимых коэффициентов (при =0,05)

Между переменными	Коэффициент корреляции
	парный	частный
YX1	-0,3728125	-0,579294
YX2	0,475190	0,491391
yx3	-0,299800	-0,088624
YX4	-0,384825	-0,453240
Х1Х2	0,19840901	0,330026
X1X3	-0,2333758	-0,163819
Х1Х4	0,02175139	-0,238139
Х2Х3	-0,6567793	-0,511918
X2X4	-0,07386735	0,163422
Х3Х4	0,02704939	-0,061118

По полученным данным можно сделать следующие выводы:

Значимые корреляционные зависимости, полученные на этапе расчёта парных коэффициентов корреляции, подтвердились и при вычислении частных коэффициентов корреляции. При этом выявлены следующие механизмы воздействия переменных друг на друга:

1. Наиболее тесная связь наблюдается изучаемым признаком рентабельностью и факторными признаками – оборачиваемость ненормируемых средств и - оборачиваемость нормируемых средств (обратные зависимости) и фондоотдачей (прямая зависимость).

2. Воздействие других переменных ослабляет отрицательную взаимосвязь между рентабельностью ( ) и оборачиваемостью ненормируемых оборотных средств ( ), т.к. абсолютная величина частного коэффициент корреляции 0,579 превышает абсолютное значение парного коэффициента корреляции - 0,373

3. Аналогичная ситуация наблюдается и для обратной связи между рентабельностью ( ) и оборачиваемостью нормируемых оборотных средств ( ) - при исключении воздействия других переменных абсолютная величина частного коэффициент корреляции превышает абсолютное значение парного коэффициента корреляции. Влияние прочих переменных также ослабляет и положительную связь между рентабельностью ( ) и фондоотдачей ( ).

4. Для связи между рентабельностью ( ) и фондовооруженностью труда ( ) характерна обратная ситуация: воздействие других переменных значительно усиливает эту взаимосвязь (частный коэффициент корреляции по абсолютной величине меньше соответствующего парного коэффициента), хотя оба коэффициента корреляции являются незначимыми.

5. Наиболее сильная связь, выявленная на этапе расчёта парных коэффициентов корреляции, между факторными признаками фондоотдачей ( ) и фондовооруженностью труда ( ), остаётся весьма сильной и значимой, хотя частный коэффициент по модулю несколько меньше парного. Таким образом, остальные переменные, включённые в корреляционную модель, ослабляют взаимосвязь между указанными факторными признаками.