Уравнения Эйнштейна

Одним из важнейших событий в гравитационной механике стало открытие Эйнштейном при участии Гильберта уравнений гравитационного поля в ОТО, связывающее между собой метрику искривлённого пространства-времени со свойствами заполняющей его материи:

1) – тензор Риччи (тензор кривизны)– упрощенный в силу своей антисимметричности по паре ближних индексов тензор Римана , который характеризует кривизну данного пространства. Этот тензор симметричен: .

2) Упрощая , получим инвариант: - скалярная кривизна пространства. Таким образом, скалярная кривизна есть след тензора Риччи.

3) g_ik - компоненты метрического тензора, которые являются функциями координат, симметричных по своим индексам: .

4) Λ – космологическая постоянная - физическая постоянная, характеризующая свойства вакуума. Она была введена Эйнштейном для того, чтобы уравнения допускали космологическое пространственно однородное статическое решение. Λ меньше чем 10 ^{− 29} г/см³ поэтому часто ей можно пренебречь.

5) T_ab – тензор энергии-импульса материи. Это симметричный тензор второго ранга, который описывает плотность и поток энергии и импульса полей материи, и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем:

- давление;

-произведение компонент вектора 4-скорости;

- объёмная плотность энергии;

- плотности компонент импульса, умноженные на c (скорость света);

- компоненты потока энергии, делённые на c (скорость света);

Подматрица 3x3 из чисто пространственных компонент:

есть тензор напряжений. В механике жидкости диагональные её компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

6) c – скорость света в вакууме – физическая константа, предельная скорость движения частиц и распространения взаимодействий. .

7) G – гравитационная постоянная Ньютона. Численно она равна модулю силы тяготения, действующей на точечное тело единичной массы со стороны другого такого же тела. [м³·с⁻²·кг⁻¹], или [Н·м²·кг⁻² ].

8) - символы Кристоффеля. Они выражают изменение компонент вектора при его параллельном переносе так что: .

9) Величина , стоящая в левой части уравнений Эйнштейна, называется тензором Эйнштейна, это симметричный тензор второго ранга в n-мерном пространстве, то есть содержит n(n + 1) / 2 независимых компонентов. Для 4-мерного пространства: 10 независимых компонент.

Решить уравнение Эйнштейна — значит найти вид метрического тензора g_μν пространства-времени. Задача ставится заданием граничных условий и написанием тензора энергии-импульса T_μν, который может описывать как точечный массивный объект, распределённую материю или энергию, так и всю Вселенную целиком.

Основные задачи этой работы:

1. Вычислить метрики и другие геометрические характеристики для построения характеристик космологических пространств.

2. Найти решение, соответствующее изотропному пространству отрицательной кривизны – открытой модели вселенной Фридмана.