39. Способы вычисления определителя

1. Определитель матрицы разложением по строкам и столбцам через миноры.

2. Определитель матрицы методом треугольников

3. Определитель матрицы методом понижения порядка

4. Определитель методом приведения к треугольному виду (методом Гаусса)

5. Определитель матрицы методом декомпозиции

40. Способы построения обратной матрицы

1. Метод Алгебраических Дополнений (Союзной Матрицы)

2. Метод Гаусса (исключения неизвестных )

3. Нахождение обратной матрицы методом линейных преобразований

По сути метод линейных преобразований - это тот же метод алгебраических преобразований (союзной матрицы), но с другой формой записи.

ВАЖНО: Результат вычисления матричного выражения является матрицей.

При обычных расчётах справедлив алгебраический приоритет: сначала учитываются скобки, затем выполняется возведение в степень/извлечение корней, потом умножение/деление и в последнюю очередь – сложение/вычитание.

Матричные выражения устроены аналогично, плюс некоторые специфические матричные операции: транспонирование и нахождение обратной матрицы.

Внимание! операция транспонирования имеет более высокий приоритет, чем умножение. Нахождение обратной матрицы также имеет приоритет перед умножением.

ПРИМЕР Рассмотрим матричное выражение ,

где  – некоторые матрицы. В данном матричном выражении три слагаемых и операции сложения/вычитания выполняются в последнюю очередь.

В первом слагаемом  сначала нужно транспонировать матрицу «Бэ»: , потом выполнить умножение  и внести «двойку» в полученную матрицу.

Скобки, как и в числовых выражениях, меняют порядок действий:  – тут сначала выполняется умножение  АВ, потом полученная матрица транспонируется и умножается на 2.

Во втором слагаемом (CD)^-1 в первую очередь выполняется матричное умножение CD, и обратная матрица находится уже от произведения. Если скобки убрать: CD^-1, то сначала необходимо найти обратную матрицу D^-1, а затем перемножить матрицы: C на D^-1.

С третьим слагаемым  всё очевидно: возводим матрицу в куб и затем вносим «пятёрку» в полученную матрицу.

ГДЕ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ МАТРИЦЫ В ЖИЗНИ (зачем они нужны)

Системы линейных уравнений - матрица коэффициентов

Таблица умножения по сути - произведение матриц (1,2,3,4,5,6,7,8,9)^ТX(1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Файл bmp - это матрица цветов пикселей

Все вращения в классической механике описываются матрицами. Напряжения и сдвиги тож.

Также матрица - это числовая запись многомерного вектора и их использование в конкретном случае зависит исключительно от того, можно ли исследуемый процесс представить в виде вектора:

Диэлектрическая и магнитная проницаемости в анизотропных средах - матрицы (тензоры).  Тензор инерции, тензор энергии-импульса, тензор э/м поля - несут два индекса = матрицы.

Совместная диффузия нескольких веществ задается матрицей коэффициентов диффузии.

В ОТО без тензоров никак. И квантовая механика тоже может быть записана в матричной форме, правда, там матрицы специфические...

С.В.РЕЗНИЧЕНКО АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

http://old.pskgu.ru/ebooks/rezsw.html