24. Сформулируйте определение минора Мij матрицы а

Определение.  Минор M_ij элемента a_ij матрицы An×n – это определитель матрицы, полученной из матрицы A вычёркиванием i-й строки и j-го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент a_ij).

ПРИМЕР: Для того, чтобы составить M₃₂, вычеркнем из некой матрицы A третью строку и второй столбец (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент a₃₂). Получим новую матрицу, определитель которой и есть минор M32:

25. Сформулируйте определение алгебраического дополнения Аij матрицы а

Алгебраическое дополнение A_ij элемента a_ij матрицы An×n это число, которое находится по формуле:

A_ij=(−1)^i+j⋅M_ij, где M_ij – минор элемента a_ij.

ПРИМЕР: найти алгебраическое дополнение A₁₂:

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения.

Это позволяет упростить вычисление определителя матриц больших порядков сведя к вычислению определителей более низкого порядка (миноров). При этом обычно выбирают ту строку/столбец, где есть нули. 

26. Как изменится определитель матрицы, если 2 его строки умножить на 2?

Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.

Следовательно, если две строки умножить на 2, то определитель умножится на 4.

27. Чему равен определитель матрицы, имеющий два одинаковых столбца?

Определитель равен нулю, если он имеет два одинаковых столбца (или две одинаковые строки).

Это следует из свойства смены знака определителя при перемене двух строк местами (в данном случае одинаковых). Т.к. строки одинаковы, то и определители обеих матриц должны быть одинаковы, но при этом, знак определителя должен меняться.

То есть , , откуда .

28. Как изменится определитель, если у матрицы поменять местами 2 строки?

Если две строки определителя поменять местами, то определитель сменит знак.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Действительно, если взять любой член некоего определителя, то в новом определителе номера 2-х строк поменяются местами, а номера столбцов останутся прежними. Следовательно, в новом определителе это же самое произведение (член определителя) будет входить с другим знаком, так как в номерах строк произошла одна транспозиция, а номера столбцов не изменились, то верхняя и нижняя строки подстановки, составленной из номеров строк и столбцов этих элементов будут иметь противоположные чётности. Итак, все члены данного определителя изменили знак, следовательно, и сам определитель изменил знак.

29. Чему равен определитель треугольной матрицы?

Определитель  треугольной матрицы (верхней или нижней) равен произведению её диагональных элементов (то есть элементов, стоящих на главной диагонали)

30. Чему равен определитель диагональной матрицы?

Определитель  диагональной матрицы равен произведению её диагональных элементов (то есть элементов, стоящих на главной диагонали)

! Ведь диагональная матрица является одновременно и верхней, и нижней треугольной.