31. Сформулируйте критерии равенства нулю определителя

1) Если все элементы строки (или столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю. Это следует из того, что по одному элементу указанной строки (или столбца) будет входить в каждый член определителя и сводить его к нулю.

2) Определитель равен нулю, если он имеет две одинаковые строки (или столбца).

Это следует из свойства смены знака определителя при перемене двух строк местами (в данном случае одинаковых). Т.к. строки одинаковы, то и определители обеих матриц должны быть одинаковы, но при этом, знак определителя должен меняться.

То есть , , откуда .

3) Если две строки определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Т.к. если все элементы какой-нибудь строки определителя имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя и мы приходим к пункту 2) – равным строкам.

НЕОБХОДИМОЕ и ДОСТАТОЧНОЕ условие равенства определителя нулю:

Для равенства определителя нулю необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимыми *.

*то есть если какая-то из строк (столбцов) может быть представлена в виде линейной комбинации других строк (столбцов).

32. Запишите формулу для вычисления обратной матрицы

Определение. Обратная матрица A⁻¹ — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E того же порядка:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Обратная матрица A⁻¹ существует тогда и только тогда, когда исходная матрица A – невырожденная. Если обратная матрица A⁻¹ существует, то она единственная.

! Невырожденная матрица – матрица, определитель которой не равен нулю. Соответственно, вырожденная матрица – та, у которой определитель равен нулю.

Обратную матрицу А^-1 можно найти по следующей формуле:

A-1 =	1	ÃT
	det(A)

где det(A) - определитель матрицы А, Ã – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А или союзная матрица.

Таким образом, чтобы найти обратную матрицу A⁻¹, требуется:

1. Найти определитель матрицы A и убедиться, что он не равн нулю, т.е. что матрица А – невырожденная.

2. Составить алгебраические дополнения Aij каждого элемента матрицы A и записать союзную матрицу из найденных алгебраических дополнений.

3. Записать транспонированную союзную матрицу

4. Записать обратную матрицу с учетом, что в формуле выше союзная матрица является транспонированной.

Свойства обратной матрицы

det(A-1) = 1 det(A)

(A·B)-1 = A-1·B-1

(A-1)T = (AT)-1

(kA)-1 = A-1 k

(A-1)-1 = A

33. А и В – матрицы. Чему равно (АВ)^-1

(A·B)^-1 = A^-1·B^-1

34. А – матрица. Чему равен (detA)^-1

Определитель обратной матрицы всегда равен определителю исходной матрицы в минус первой степени (если конечно он не равен нулю).

Следовательно (detA)^-1 равен определителю обратной матрицы А^-1 det(A^-1)

35. Дано матричное уравнение АХ=В. Чему равен Х?

Если A·X = B,  

То X = A^-1·B.

Важно учитывать некомутативность произведения матриц!

36. Дано матричное уравнение ХА=В. Чему равен Х?

Если X·A = B,

То X = B· A^-1.

Важно учитывать некомутативность произведения матриц!

37. А – матрица и detA=2. Чему равен det(A^T)

det(A^T)= detA=2

38. А – матрица и detA=2. Чему равен det(A^-1)

Определитель обратной матрицы всегда равен определителю матрицы в минус первой степени (если конечно он не равен нулю)

Следовательно det(A^-1) = (detA)^-1= 2^-1=1/2