15. Что такое перестановка?

Перестановка – упорядоченный набор (=множество) n элементов множества E, то есть расположение их в определённом порядке.

Если множество Е состоит из n-элементов, то число перестановок (то есть вариантов расположения n элементов) равно n!, где n — длина перестановки.

Перестановки бывают четными и нечетными.

16. Что такое транспозиция перестановки?

Транспозиция - перемена местами двух элементов перестановки.

Теор.1 Все -перестановок длины  можно расположить одну за другой таким образом, что каждая последующая получается из предыдущей одной транспозицией. Причем можно начинать такое упорядочивание с любой перестановки.

Следствие. Число четных перестановок из  символов равно числу нечетных, т.е.  (при любом  ).

Теор.2 Любая транспозиция меняет чётность перестановки на противоположную.

17. В каком случае два числа образуют инверсию в перестановке?

Инверсию (нарушение порядка) образует пара элементов в перестановке когда меньшее из них расположено правее большего.

Каждой перестановке можно сопоставить число инверсий в ней, которое подсчитывается так: для каждого из элементов определяют количество стоящих правее его меньших чисел, и полученные результаты складываются.

Перестановка называется четной, если число инверсий в ней четно, и нечетной – если инверсий в ней нечётное количество.

ПРИМЕР: Найти число инверсий в перестановке: (5,3,1,4,2,6).

Рассмотрим элементы слева направо по очереди, считая инверсии для каждого.

1)   инверсии с 1-м элементом (5,3) (5,1) (5,4) и (5,2)   =>  4 инверсии

2)   инверсии с 2-м элементом (3, 1) и (3,2)   =>  2 инверсии

 3)   инверсии с 3-м элементом 1   =>  0 инверсий, т.к. 4,2 и 6 больше 1

 4) инверсии с 4-м элементом (4,2)   =>  1 инверсия

 5)   инверсии с 5-м элементом 2   =>  0 инверсий, т.к. 6 больше 2.

Итого в перестановке  4 + 2 + 0 + 1 + 0 = 7 инверсий. Перестановка нечетная.

18. Какая перестановка называется четной?

Четная перестановка - содержащая четное количество инверсий.

*Число инверсий в перестановке подсчитывается так: для каждого из элементов определяют количество инверсий (стоящих правее его меньших чисел), и полученные результаты складывают.

19. Какая перестановка называется нечетной?

Нечетная перестановка - содержащая нечетное количество инверсий.

*Число инверсий в перестановке подсчитывается так: для каждого из элементов определяют количество инверсий (стоящих правее его меньших чисел), и полученные результаты складывают

20. Как влияет транспозиция на четность перестановки?

Любая транспозиция (то есть перемена местами двух любых элементов) меняет чётность перестановки на противоположную.

21. Какая подстановка называется четной?

Подстановка называется чётной если при всех записях подстановки  чётности верхней и нижней строк (перестановок) – совпадают.

Например, тождественная подстановка() будет чётной:

22. Какая подстановка называется нечетной?

Подстановка называется нечётной если при всех записях подстановки  чётности верхней и нижней строк (т.е. перестановок) – противоположны.

23. Сформулируйте определение определителя матрицы

Определителем (детерминантом) квадратной матрицы n–го порядка называют число, равное алгебраической сумме всех возможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца; при этом знак, с которым произведение входит в сумму определяется по правилу:

Сомножители в каждом произведении записываются в порядке следования строк, тогда номера столбцов образуют перестановки. Если перестановка четная, то произведение берется со знаком «+», а если нечётная – то со знаком «-».

Произведение элементов матрицы (слагаемые, из которых состоит сумма) называется членом определителя.

! Элементы матрицы при этом могут быть также и комплексными числами!

НАПРИМЕР, при n=6 произведение а₂₁а₁₃а₆₂а₃₄а₄₆а₅₅ является членом определителя, так как в него входит точно по одному элементу из каждой строки и из каждого столбца.

Подстановка, составленная из его индексов будет:

 

В ней 4 инверсии в верхней строке и 2 в нижней. Общее число инверсий 6, то есть подстановка чётная. Значит, этот член определителя входит в сумму со знаком «+».

Свойства определителей:

1. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.

2. Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак, а по абсолютной величине не изменится.

3. Пусть C = AB где A и B квадратные матрицы. Тогда det C = detA ∙ detB .

4. Если все элементы одной строки (столбца) равны нулю, то и определитель равен нулю.

5. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен 0.

6. Определитель с двумя пропорциональными строками или столбцами равен 0.

7. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.

8. Определитель диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов.

9. Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.

10. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором - вторые слагаемые.

11. Теорема Якоби: Если к элементам некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится.