8. Как выполняется умножение матрицы на число?

Произведением матрицы A на число k называется матрица B = k · A того же размера, полученная из исходной умножением на заданное число k всех ее элементов:

b_ij = k · a_ij

Свойства умножения матрицы на число (скаляр)

1 · A = A

0 · A = Θ, где Θ - нулевая матрица

k · (A + B) = k · A + k · B

(k + n) · A = k · A + n · A

(k · n) · A = k · (n · A)

Аналогично по этому правилу можно и наоборот – вынести общий множитель с каждого элемента

9. Как выполняется умножение матриц?

Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Произведение матрицы  Аm×n на матрицу Bn×p – это матрица Cm×p, у которой элемент Cij , стоящий на пересечении i строки и j столбца равен сумме попарных произведений элементов i-строки матрицы A и j-столбца матрицы B.

Можно записать формулой:

, где і = 1…m; j =1…p

Пример

Видео на 2 минуты https://www.youtube.com/watch?v=llwuoLzPbdE

Свойства умножения матриц:

1. Ассоциативность (А × В) × С = А × (В × С)

2. Дистрибутивность А × (В+С) = А×В + А×С (А+В) × С = А×С + В×С

3. Ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число (k×A) × B = k × (A×B) = A × (k×B)

4. В общем случае умножение матриц не коммутативно А×В ≠ В×А

5. Произведение коммутативно в случае умножения на единичную матрицу E_m × A_m×n = A_m×n × E_n = A_m×n

10. Любые ли две матрицы можно перемножить?

Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы (в этом случае говорят, что матрицы согласованы).

! При этом имеет значение какая матрица стоит первой, т.к. умножение матриц в общем случае НЕ коммутативно A·B ≠ B·A (термин Коммутативность = Перестановочность)

Исключение – например, если одна из матриц - диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны друг другу. Частный случай – единичная матрица.

Второе исключение – если это квадратные равные матрицы A·А = А·A = А²

11. Определение матрицы, транспонированной по отношению к данной.

Транспонированная по отношению к матрице А матрица А’ (или А^Т) - матрица, которая получается из матрицы A заменой в ней местами строк и столбцов.

Например, для матрицы-строки транспонированной будет матрица-столбец.

Операция перехода к матрице А^Т, транспонированной относительно матрицы А, называется транспонированием матрицы А. Для  mn-матрицы транспонированной является nm-матрица.

И на оборот, транспонированной относительно матрицы А^Т будет ее исходная матрица А, т.е. (А^Т) ^Т. = А

12. А и В – матрицы. Чему равно (АВ)^т

Свойства транспонированной матрицы

Если матрица A имеет размер n×m, то транспонированная матрица A^T имеет размер m×n;

(A^T)^T = A;

(k · A)^T = k · A^T;

(A + B)^T = A^T + B^T;

(A · B)^T = B^T · A^T.

13. Какие преобразования называют элементарными преобразованиями матриц?

Элементарные преобразования матрицы — это такие преобразования матрицы, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц, то есть, элементарные преобразования НЕ изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет собой эта матрица.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольному или ступенчатому виду.

Элементарными преобразованиями матриц называются следующие преобразования:

1. умножение строки или столбца матрицы на ненулевое число;

2. перестановка местами двух строк или столбцов матрицы;

3. прибавление к некоторой строке матрицы другой ее строки, предварительно умноженной на произвольный коэффициент (некоторое ненулевое число) или

прибавление к некоторому столбцу матрицы другого ее столбца, предварительно умноженного на произвольный коэффициент (некоторое ненулевое число).

Если от матрицы  к матрице  перешли с помощью элементарных преобразований, то такие матрицы называют эквивалентными и обозначают  

! Для понимания – это те же действия, которые мы можем делать над уравнениями из системы линейных уравнений, не изменяя множество их корней (решений)

Каждое из элем. Преобразований можно представить как умножение исходной матрицы на матрицу специального вида, причём, если преобразование нужно над строчками, то специальная матрица слева от исходной, а если над столбцами – то справа.

Специальная матрица – это единичная матрица, над которой проведено требуемое преобразование.

То есть, для умножения і-той строки исходной матрицы на число k ее надо умножить слева на единичную матрицу, у которой в элементе іі на главной диагонали единица умножена на k (заменена на k). Если умножать на такую матрицу справа – на k умножится і-тый солбец исходной матрицы.

Видео с объяснением и примером: https://www.youtube.com/watch?v=UlsZV9U2iAA

Элементарные преобразованиями матриц нужны для упрощения матриц и приведения их к треугольному виду, который позволяет легче вычислять их определитель.

ПЕРЕСТАНОВКИ, ПОДСТАНОВКИ, ТРАНСПОЗИЦИИ:

http://www.algebraical.info/doku.php?id=glossary:group:permutation

нужные термины по теме

* Биективность. Биекция — это отображение, которое является одновременно и сюръективным, и инъективным. При биективном отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством. Поэтому биективное отображение называют ещё взаимно-однозначным отображением (соответствием) ..

В случае подстановок биективность означает, что при записи подстановки в виде таблицы из двух строк все элементы в нижней строке (строке образов) различны (инъективность), и в строке образов присутствуют все элементы Xn (сюръективность).

* Инъективность  Инъекция в математике (или вложение, или одно- однозначным отображение в множество Y) — отображение f множества X в множество Y (f:X→Y), при котором разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y, то есть, если два образа при отображении совпадают, то совпадают и прообразы:

f(x)=f(y) => x=y

* Сюръективность – Сюръекция (буквально НАложение, в отличие от Вложения/инъекции) — отображение множества X на множество Y (f:X→Y), при котором каждый элемент множества Y является образом хотя бы одного элемента множества X, то есть ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X : y = f (x).

Примеры: f:R→R₊,f(x)=x² — сюръективно.

f:R→R,f(x)=x² — не сюръективно (например, не существует x Є R, чтобы f(x)=−9).

Отображе́ние = Фу́нкция = Опера́тор = Преобразова́ние – соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества.

ВНИМАНИЕ! В некоторых учебниках перестановка и подстановка называются наоборот или вообще обе сущности называют перестановкой, т.к. по сути подстановка основана на перестановках и в англоязычной литературе это всё permutation. Из-за этого возможна путаница в терминах. Ниже – так, как у вас в конспектах.