1.2. Вращательное движение

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение (или угол поворота), измеряемое в радианах. При малых углах поворота длина дуги связана с углом поворота соотношением:

,

где – радиус вращения.

Угловой скоростью тел в данной точке круговой траектории называют отношение малого углового перемещения к малому промежутку времени:

.

Угловая скорость измеряется в рад/с.

Связь между модулем линейной скорости и угловой скоростью выражается формулой

.

При равномерном движении тела по окружности величины и остаются неизменными. Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной и угловой скоростями соотношениями:

.

Центростремительная сила определяется выражением:

.

Для периода вращения тела справедливо выражение:

.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

№ 1.6

Применяемая в медицине центрифуга состоит из металлического ротора и прикрепленных к нему цилиндров для пробирок. Цилиндры закреплены шарнирно и при вращении ротора занимают почти горизонтальное положение. Более тяжелые частицы, находящиеся в пробирке, например, форменные элементы крови, осаждаются при этом на дне пробирок. Для ряда других исследований, например для отделения белков в коллоидном состоянии, применяют ультрацентрифугу (с большей скоростью вращения). Определить угловую и линейную скорости вращения ультрацентрифуги, если за мин она совершает оборотов, а радиус вращения равен см.

Решение

Угловая скорость вращения ротора центрифуги определяется выражением

, (1)

где – частота вращения ротора. Подставляя численные значения величин, входящих в (1), получим:

рад/с.

Используя формулу, связывающую между собой линейную и угловую скорости, найдем:

м/с.

№ 1.7

В медицине для получения безбелкового фильтрата применяют центрифуги. Найти отношение нормального (центростремительного) ускорения к ускорению свободного падения, если центрифуга совершает об/мин, а расстояние до оси вращения м.

Решение

Центростремительное ускорение может быть найдено следующим образом:

, (1)

где – линейная скорость центрифуги на участке, где расположен раствор, – угловая скорость вращения центрифуги.

Отношение центростремительного ускорения к ускорению свободного падения запишется в виде:

. (2)

Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:

.

№ 1.8

Определить линейную и угловую скорости вращения центрифуги, применяемой для исследования крови человека, при частоте об/с. Расстояние до оси вращения см.

Решение

По определению угловая скорость равна

рад/с.

По формуле, связывающей линейную и угловую скорости вращения, найдем линейную скорость:

м/с.

№ 1.9

Найти силу, действующую при центрифугировании на ядра клеток печени радиусом мкм и плотностью кг/м³, считая ядра правильными сферическими частицами. Радиус ротора центрифуги м, частота вращения ротора кГц.

Решение

Сила, действующая на ядра клеток печени при вращении в центрифуге, определяется выражением

, (1)

где – объем ядра, – угловая скорость вращения центрифуги.

Учитывая, что объем сферической частицы , а угловая скорость , (1) можно переписать:

. (2)

Подставляя численные значения величин, входящих в (2), получим:

Н.

№ 1.10

Определить угловую скорость вращения ротора ультрацентрифуги, в которой под действием силы нН осаждаются лизосомы. Плотность вещества лизосомы кг/м³, радиус лизосомы мкм, радиус ротора ультрацентрифуги м.

Решение

Сила, действующая на лизосому при вращении в ультрацентрифуге, определяется выражением

, (1)

где – объем ядра, – угловая скорость вращения ультрацентрифуги.

Учитывая, что объем сферической частицы , (1) можно переписать:

. (2)

Из (2) можно выразить угловую скорость вращения ротора центрифуги:

. (3)

Подставляя численные значения величин, входящих в (3), получим:

(рад/с).

№ 1.11

Найдите скорость полного оседания сферических частиц радиусом мкм (плотность вещества г/см³) в слое воды толщиной см в двух случаях: а) при действии силы тяжести; б) при центрифугировании с частотой оборотов с^-1. Радиус ротора центрифуги см. Действием силы тяжести пренебречь. Вязкость воды Па·с, плотность – кг/м³.

Решение

а) Равномерное оседание частиц происходит при условии:

, (1)

где – сила тяжести, действующая на частицу, – сила сопротивления, действующая на частицу со стороны воды вследствие ее вязкости, – сила Архимеда, действующая на частицу. Тогда соотношение (1) перепишется:

. (2)

Отсюда

.

Из последнего выражения найдем скорость оседания частиц:

мм/с.

б) Скорость оседания частиц при центрифугировании определяется из условия равенства центростремительной силы, действующей на частицу при ее вращении, и силы вязкости:

, (3)

где – линейная скорость частиц при их вращении в центрифуге.

Подставляя выражение для в (3), получим:

. (4)

Подставляя в (4) выражение для массы частицы , получим

. (5)

Из последнего соотношения выразим скорость оседания частиц при центрифугировании:

. (6)

Подставляя численные значения величин, входящих в (6), получим:

м/с.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Определить угловую скорость вращения центрифуги, применяемой для фракционирования крови, если за время, равное 1 мин она совершила 9000 оборотов.

2. Две гематокритные центрифуги имеют радиусы 5 см и 7 см. Сравнить нормальные ускорения частиц, находящихся на расстояниях равных радиусам центрифуг, полагая, что их линейные скорости одинаковы.

3. При фракционировании фармацевтической суспензии на центрифуге на сферические частицы радиусом 2 мкм действует сила 3 мкН. Определить плотность частиц, считая, что радиус ротора центрифуги равен 8 см, а частота вращения – 6000 об/мин.

4. Скорость оседания сферических частиц радиусом 3 мкм при их центрифугировании составляет 1,2 м/с. Определить частоту вращения центрифуги, полагая, что радиус ее ротора равен 10см. Вязкость воды – 10^-3 Па·с, плотность частиц – 2 г/см³.

5. Найдите время полного оседания в воде сферических частиц радиусом 3 мкм и плотностью 2 г/см³ при центрифугировании с частотой оборотов 100 Гц. Радиус ротора центрифуги – 10 см, длина пробирки – 6 см, вязкость воды – 10^-3 Па·с, плотность воды – 10³ кг/м³. Действием силы тяжести пренебречь.