Волновые процессы плоские волны

Возмущения, распространяющиеся в среде, называются волнами. Простейшими из них являются плоские волны, т.е. такие возмущения, величина которых зависит от времени t и лишь одной декартовой координаты, например x. Пусть величина возмущения с течением времени не меняется, но само оно перемещается с некоторой скоростью v вдоль оси OX. Это означает, что если при t=0 в какой либо точке x₀­ возму­щение было равно y₀, то при t>0 такое же возмущение y=y₀ будет в точке x=x₀+vt. Пусть в момент времени t=0 возмущение описывается функцией f(x), т.е. величина возмущения y в точке x определяется как y=f(x). Это означает, что если при t=0 в какой либо точке x₀­ возму­щение было равно y₀=f(x₀), то при t>0 такое же возмущение y=y₀ будет в точке x=x₀+vt. Таким образом, x₀=x–vt и, соответственно, y₀=f(x₀)=f(x–vt)=y. Итак, функция y=f(x – vt) описывает возмущение, распространяющееся вдоль оси OX с постоянной скоростью v (см. Рис. 1). Возмущение, распространяющееся навстречу оси OX, описывается подобной функцией, только у скорости v следует изменить знак. Таким образом, функция, описывающая распространение вдоль оси OX плоской волны, имеет вид:

y(x,t) = f(x  vt) (1).

Верхнему знаку соответствует волна, распространяющаяся в отрицательном направлении оси OX, нижнему – в положительном.

Аргумент =x  vt функции f () называется фазой волны. Постоянству возмущения y = f () соответствует постоянство фазы . Как видим, точки волны, соответствующие постоянной фазе, перемещаются вдоль оси OX со скоростью v. Поэтому скорость v называют фазовой скоростью волны.

Волновое уравнение

Для нахождения уравнения, которому удовлетворяет функция (1) дважды продифференцируем y по x и t:

, ,

(здесь f " - вторая производная функции f() по ее аргументу).

Умножая первое из этих равенств на v², и вычитая его из второго, получим:

(2).

Уравнение (2) называется волновым уравнением. Оно возникает в различных задачах физики, например, описывает колебания струны, распространение звука в различных средах и т.п. (подробнее см., учебник И.Е. Иродова «Вол­новые процессы»).

Уравнение (2) своими решениями имеет функции вида (1). В силу линейности волнового уравнения, его общее решение можно записать как сумму функций (1):

y(x,t)=f₁(x – vt) + f₂(x + vt) (3).

Монохроматические волны

Вид функций f₁ и f₂ ничем не ограничен, т.е. волны могут быть любыми, но особую роль в физике играют так называемые монохроматические волны, в которых возмущения описываются гармоническими функциями:

f(x,t)=Acos(kx  t) (4),

где константы А,  и k имеют названия:

А - амплитуда волны,  - ее частота, k - волновое число.

Если аргумент косинуса в (4) записать как k[x – (/k)t], то коэффициент перед t есть, очевидно, скорость монохроматической волны:

v = /k, или  = kv.

Как видим из (4), возмущения в монохроматической волне периодичны как по координате при фиксированном времени, так и по времени при фиксированной координате. Минимальный промежуток времени Т, по прошествии которого возмущение в данной точке принимает прежнее значение, называется периодом волны T=2. Минималь­ное расстояние  между двумя точками, в которых возмущение в один и тот же момент времени оказывается одинаковым, называется длиной волны k=2. Приравняв левые части этих равенств друг другу и приняв во внимание, что =kv, получим =vT. Полученный результат означает, что длина волны равна расстоянию, которое проходит волна за время равное одному периоду.

Выражение (4) можно записать в случае произвольного направления распространения волны следующим образом:

f(r,t)=Acos(kr  t) (5),

где r–радиус-вектор, k–волновой вектор. Направление волнового вектора совпадает с направлением распространения волны, а модуль его равен волновому числу: k=2/.

Особую роль монохроматические волны играют потому, что всякую волну можно представить в виде совокупности монохроматических волн с различными частотами и волновыми числами. О таком представлении волны в виде совокупности монохроматических волн говорят как о спектральном разложении волны, т.е. спектр - это набор монохроматических волн, из которых состоит данная волна.