Приложение 2 вывод формулы ричардсона – дэшмана.

Для вывода формулы Ричардсона-Дэшмана найдем количество электронов, вылетающих из катода в единицу времени. Необходимо при этом учитывать, что в металле распределение электронов по энергиям подчиняется закону Ферми-Дирака:

(1),

где n() есть среднее число электронов с энергией ,  – энергия Ферми. Как видно из (1) при температуре Т=0 все состояния с < заняты (n()=1), а с > – пусты (n()=0). Таким образом,  представляет собой максимальную энергию, которой могут обладать электроны в металле при нулевой температуре. В большинстве металлов энергия Ферми имеет порядок 1 эВ¹. Если T>0, то электроны могут обладать энергиями, превышающими энергию Ферми, однако, как видно из (1), энергия этих электронов отличается от  лишь на величину порядка kT. Поскольку обычно T составляет величину не превышающую 2500К–3000К, то kT<<. Число же электронов с энергиями, заметно превышающими , ничтожно мало. Все это иллюстрируется рис. 1, где пунктирной линией изображена функция распределения Ферми-Дирака при T=0, а сплошной – при T>0.

Тот факт, что электроны не могут самопроизвольно выйти из металла, означает, что они удерживаются в нем некоторыми силами. Это можно трактовать так, что электроны металла находятся в потенциальной яме, высота стенок которой достаточно велика для того, чтобы электроны не могли выскочить из нее. Все это можно схематически изобразить в виде графика зависимости потенциальной энергии электрона от его координат. Этот график изображен на рис. 2, где координата х отсчитывается в направлении, перпендикулярном поверхности металла. Металлу соответствуют отрицательные x, вакууму - положительные.

Поскольку наибольшая кинетическая энергия электронов при Т=0 равна энергии Ферми , то работа, которую необходимо совершить для удаления электрона из металла, равна разности между высотой потенциального барьера и энергией Ферми. Эта величина носит название работы выхода. Ее записывают как e, где e‑ величина заряда электрона, а  тогда имеет размерность потенциала. Потенциал  для большинства металлов составляет величину от вольта до нескольких вольт. Здесь же на графике изображена функция распределения Ферми-Дирака, показывающая, как изменяется число электронов с ростом их энергии.

С ростом температуры возрастает количество электронов с высокими энергиями. Те электроны, энергия которых превышает энергию Ферми на величину большую работы выхода, могут выйти из металла. Это и есть термоэлектронная эмиссия.

Таким образом, для нахождения тока термоэлектронной эмиссии необходимо найти поток электронов с достаточно большими энергиями в направлении поверхности металла. Поскольку силы, удерживающие электроны в металле, направлены перпендикулярно его поверхности, то для нахождения тока эмиссии следует найти количество электронов, у которых скорость в направлении поверхности металла v_x такова, что:

(2).

Проекции скорости частицы на направление, параллельное поверхности металла v_x и v_y, могут быть при этом любыми.

Движение электронов в металле подчиняется законам квантовой механики, согласно которым всякая частица обладает также и волновыми свойствами. Длина волны  (волна Де Бройля), которой обладает частица, равна, как известно:

=2/p,

где p - импульс частицы, - постоянная Планка. Поскольку электроны в металле находятся в стационарном состоянии, то это означает, что длины волн электронов могут иметь лишь некоторые определенные значения. Все это приводит к тому, что в единице объема количество электронов с заданным значением импульса p оказывается равным:

(3).

Здесь dp_x, dp_y, dp_z – значения интервалов, в пределах которых заданы значения проекций импульса. Энергия электрона = , где m – его масса.

Если (3) проинтегрировать при T=0 по dp_x, dp_y, dp_z в пределах от – до +, то мы получим соотношение между концентрацией электронов в металле n и энергией Ферми :

(4).

При T>0 значение  мало отличается от (4).

Найдем теперь плотность тока термоэлектронной эмиссии. Для этого запишем количество электронов, имеющих проекции импульса p_x, p_y, p_z и достигающих площадки площади dS на поверхности металла за некоторое малое время dt:

(5).

Для нахождения тока необходимо умножить dN на заряд электрона e. Как уже было отмечено, выходят за пределы поверхности металла лишь те электроны, у которых , или p_x>p₀, где:

p₀= .

Интегрируя (5) по dp_x в пределах от p₀ до бесконечности, а по dp_y и dp_z от минус до плюс бесконечности, получим плотность тока эмиссии:

(6).

Вычисление (6) нетрудно произвести в случае, когда e>>kT, что обычно имеет место в реальных условиях работы катода. В этом случае показатель экспоненты оказывается большим и единицей по сравнению с экспонентой можно пренебречь. Тогда интеграл превращается в значительно более простой:

(7).

Интегрирование по dp_x выполняется элементарно, если сделать замену переменных , после чего получаем:

.

Интегралы по dp_y и dp_z одинаковы и представляют собой известный интеграл Пуассона:

,

в котором a =1/2mkT.

Таким образом, находим плотность тока эмиссии:

(8).

Полученный результат (8) представляет собой известную формулу Ричардсона – Дэшмана, в которой множитель, стоящий перед T² имеет величину 120,4 ампер/см²град², что заметно больше тех величин, которые обычно наблюдаются в экспериментах с термоэлектронной эмиссией с поверхности чистых металлов. Это расхождение объясняется тем, что часть электронов отражается от поверхности металла. В соответствии с этим необходимо умножить плотность тока в (8) на множитель 1-r, где r - коэффициент отражения электронов от поверхности металла. Что касается вычислений значения коэффициента r, то никаких надежных способов такого вычисления нет, поскольку результат определяется индивидуальными свойствами поверхности. Итак, с учетом возможного отражения электронов от поверхности металла получаем:

.