59.Виды средних величин

Средняя величина – это обобщающий показатель, характе­ризующий типический уровень явления в конкретных условиях места и времени. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Средние величины делятся на два больших класса:

1)  степенные средние; к ним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая, средняя квадратическая и средняя гармоническая;

2) структурные средние, в качестве которых рассматриваются мода и медиана.

1)Степенные средние в зависимости от представления исходных данных исчисляются в двух формах: простой и взвешенной. Простая средняя считается по несгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

,

где   – варианта (значение) осредняемого признака;  - показатель степени средней;   – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным, представленным в виде дискретных или интервальных рядов распределения:

,

где   – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;  - показатель степени средней;   – частота, показывающая, сколько раз встречается   – e значение осредняемого признака.

2)Структурные средние величины

Особый вид средних величин – структурные средние применяется для изучения внутреннего строения рядов распре­деления значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен.

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака и медианы –величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака не превышает медианного уровня, а у другой – не меньше его.

Если изучаемый признак x имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:

Ме = x Ме +  Ме ( Ме-1)/ m Ме ,

где x _Ме – низшая граница медианного интервала;  _Ме – величина медианного интервала;   – половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении);  _{Ме-1 –} сумма  наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;  _Ме– число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (в абсолютном либо относительном выражении).

Если необходимо разделить совокупность на две не равные по численности части, то рассчитывается соответствующее квантильное значение признака. Так, чтобы определить, какой уровень признака является границей, отделяющей первые 20% наблюдений с самыми меньшими значениями признака от остальных 80% наблюдений с большими значениями, следует рассчитать для анализируемой совокупности 20% – й квантиль. Методика расчета квантильного уровня та же, что и при расчете медианы: находится квантильныи интервал, определяется его размах. Далее в формулу подставляют данные о сумме частот, накопленных до начала квантильного интервала, о частоте в квантильном интервале и квантильном номере наблюдения.

В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака x . Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как

Мо = x Мо +  ,

где x _Мо – нижняя граница модального интервала;  _{Мо –} число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале (в абсолютном либо относительном выражении);  _{Мо-1,  Мо+1} – то же, для интервалов, предшествующего модальному и следующего за модальным;   — величина интервала изменения признака в группах.