Вопрос 10. Модели многоканальных информационных систем с интенсивностью потока заявок, не зависящих от состояния системы.
Обозначим через интенсивность входного потока заявок и через – интенсивность обслуживания заявки одним каналом. Очевидно, система может устойчиво работать, если k. При соблюдении этого условия в системе существует стационарный режим, при котором вероятности состояний остаются неименными во времени.
Поскольку длина очереди не ограничена, граф состояний системы будет иметь сколько угодно вершин. Максимальная интенсивность обслуживания заявок системой равна k, при числе заявок в системе, большем k, интенсивность обслуживания остаётся неизменной. Граф состояний k–канальной СМО:
Уравнение
Колмогорова:
,
где Pi
– вероятность нахождения системы в
i-том
состоянии, справа - ,
имеющая столько слаг., сколько имеется
переходов из данного сост., и в данное
сост., слагаемое является произведением
интенсивности перехода на вероятность
состояния, из которого осуществляется
переход.
Не трудно видеть, что это граф эргодического Марковского процесса. Описывается этот граф системой алгебраических уравнений.
n=0: 0 = – p0 + p1
0 = – pi( + i) + pi-1 + (i+1)pi+1 , 0 i k
0 = – pj( + k) + pj-1 + k pj+1 , >j k
Система решается.
Модели, построенные с применением поглощающих Марковских цепей.
Поглощающая Марковская цепь имеет поглощающее состояние, достигнув в которого процесс прекращается. Из какого бы состояния процесс ни начинался, при бесконечно большом числе переходов он окажется в поглощающем состоянии с вероятностью, равной единице.
Матрица вероятностей перехода поглощающей Марковской цепи имеет следующий вид:
Граф, моделирующий надёжность дублированной системы с постоянно включенным резервом и обслуживанием. Поскольку отказы устройств и процессы восстановления устройств после отказа подчинены экспоненциальному закону, возле стрелок в место вероятностей указаны интенсивности переходов из одного состояния в другое ( – интенсивность отказа, – интенсивность восстановления).
Эта Марковская схема отображает функционирование системы до её отказа. При этом в первом состоянии исправны и работают оба блока, во втором – отказал один из блоков, в третьем – отказали оба блока, т.е. отказала система (поглощающее состояние). Над стрелками указаны интенсивности переходов их одного состояния в другое.
Для описания работы этого графа используется система уравнений А.Н. Колмогорова. Система уравнений содержит столько уравнений, сколько вершин имеет граф (за исключением поглощающих). Слева записывается производная вероятности нахождения системы в данном состоянии, справа – многочлен, содержащий столько слагаемых, сколько стрелок входит в данное состояние или выходит из него. Если стрелка направлена из данного состояния, соответствующий член имеет знак «минус», в данное состояние – «плюс». Каждое из слагаемых равно произведению интенсивности перехода на вероятность нахождения системы в состоянии, из которого осуществляется переход. В рассматриваемом случае указанный на рис.2.5 граф описывается двумя уравнениями:
Умножим оба уравнения на dt и проинтегрируем их в пределах [0, ].
В результате решения этих уравнений получим:
ТСР=Т0+Т1
Математическое ожидание времени от момента включения системы до её отказа будет равно: ТСР=Т0+Т1
