Тема 2. Линейные формы и линейные операторы

Линейной формой на пространстве называется функция , обладающая свойствами линейности, т.е.

1. ; 2. .

Линейная форма выражается через координаты вектора в виде: , где величины называются коэф­фициентами линейной формы. Линейные формы образует линейное пространство. Это пространство называется сопряженным к пространству и обозначается . Коэффициенты линейной формы являются ее координатами в базисе , который определяется соотношениями . Очевидно .

Система линейных форм определяет подпространство , состоящее из векторов, на которых все формы системы обращаются в ноль. В базисе подпространство задается линейной однородной системой уравнений .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти ранг и базис системы форм.

1.1. . 1.2. .

1.3. . 1.4. .

Указание. Ранг и базис системы форм ищутся так же, как ранг и базис системы векторов (см. решение задачи 6 темы 1). Базис определен неоднозначно.

Задача 2. Подпространство, заданное системой уравнений

,

задать в виде линейной оболочки системы векторов.

Решение. Преобразуем матрицу системы (матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных ) с помощью ЭПС к ступенчато-треугольному виду (см. решение задачи 6 темы 1).

.

Исходная система эквивалентна системе с преобразованной матрицей.

Ранг этой матрицы равен 3, первый, четвертый и пятый столбцы образуют базис линейной оболочки столбцов. Соответствующие этим столбцам переменные называются базисными, а – свободными переменными. Перенесем свободные переменные в правую часть уравнений системы и запишем систему в следующем виде:

.

Левая часть системы треугольная относительно базисных переменных, поэтому для каждого набора свободных переменных базисные переменные определяются однозначно. Следовательно, решение задается набором свободных переменных. Размерность подпространства решений равна двум (по числу свободных переменных). Базис этого подпространства называется фундаментальной системой решений (ФСР). ФСР задается наборами, образующими базис в пространстве свободных переменных. Например, наборами и задается ФСР , где

, .

Подпространство решений системы уравнений является линейной оболочкой векторов . Отметим, что ФСР определена неоднозначно.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Подпространство, заданные системой уравнений, задать как линейную оболочку системы векторов.

2.1. . 2.2. .

2.3. . 2.4. .

Задача 3. Задать линейную оболочку системы векторов с помощью системы уравнений, если .

Решение. Найдем линейные формы, которые обращаются в нуль на векторах . Коэффициенты таких форм удовлетворяют следующей системе уравнений:

.

Придавая переменным последовательно значения и , получим два независимых решения и .

Линейная оболочка векторов задается системой уравнений

.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Задать линейную оболочку векторов с помощью системы уравнений.

3.1. . 3.2. .

3.3. . 3.4.