Ранг системы векторов

Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов этой системы.

Ранг системы векторов пространства равен рангу системы столбцов, составленных из координат этих векторов. Ранг системы столбцов матрицы легко определяется, если матрица имеет ступенчато-треугольный вид (см. задачи 5(1) и 5(2)). Если матрица не имеет специального вида, то с помощью элементарных преобразований строк, сохраняющих линейные соотношения между столбцами, её можно привести к ступенчато-треугольному виду.

Элементарными преобразованиями строк матрицы (ЭПС) называются следующие операции над матрицей:

1) перестановка строк;

2) умножение строки на отличное от нуля число;

3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число.

Задача 6. Найти ранг системы векторов .

Решение. Для определения ранга матрицы приведем её с помощью ЭПС к ступенчато-треугольному виду. Чтобы объяснить порядок действий, обозначим символом строчку с номером преобразуемой матрицы.

В матрице после стрелки указаны действия над строками преобразуемой матрицы, которые необходимо выполнить для получения соответствующей строки новой матрицы.

.

Очевидно, что первые два столбца полученной матрицы линейно независимы, третий является их линейной комбинацией, а четвертый не зависит от двух первых. Первый, второй и четвертый столбцы образуют максимальную линейно независимую подсистему, следовательно, ранг системы равен трем.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти ранг системы векторов

6.1. . 6.2. .

6.3. . 6.4. .

Базис, координаты, размерность

Упорядоченная система векторов образует базис пространства , если каждый вектор однозначно представим в виде: .

Последнее равенство называется разложением вектора по базису, а коэффициенты разложения - координатами вектора в этом базисе. Размерность пространства (обозначается ) равна числу базисных векторов. Каждый вектор однозначно задается своими координатами в фиксированном базисе. Координаты векторов обладают свойством линейности, т.е. при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Задача 7. В пространстве всех матриц размера выбрать некоторый базис и определить координаты векторов в этом базисе.

Решение. Каждая матрица однозначно задается матричными элементами . Базис, в котором матричные элементы являются координатами, состоит из матриц , у которых на месте стоит единица, а на остальных местах нули.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

В каждом из указанных пространств (подпространств) выбрать некоторый базис и определить координаты векторов в этом базисе.

7.1. Пространства геометрических векторов , , .

7.2. Пространство .

7.3. Множество многочленов степени не выше п.

7.4. Множество всех векторов пространства , у которых координаты удовлетворяют уравнению .

7.5. Множество всех векторов пространства , у которых координаты удовлетворяют уравнению .

7.6. Множество всех векторов пространства , у которых координаты с четными номерами равны нулю.

7.7. Множество всех векторов пространства , у которых координаты с четными номерами равны между собой.

7.8. Множество всех векторов пространства , у которых координаты удовлетворяют уравнению .

7.9. Множество четных многочленов степени не выше п.

7.10. Множество нечетных многочленов степени не выше п.

7.11. Множество симметричных квадратных матриц порядка .

7.12. Множество кососимметричных квадратных матриц порядка .

Линейной оболочкой системы векторов называется множество всех линейных комбинаций этих векторов. Линейная оболочка (обозначается ) является минимальным подпространством, содержащим систему векторов . Размерность равна рангу системы , а базисом является любая максимальная линейно независимая подсистема.

Задача 8. Найти размерность и базис линейной оболочки системы векторов

.

Решение. Преобразуем с помощью ЭПС матрицу из координат векторов системы к ступенчато - треугольному виду.

.

Столбцы последней матрицы линейно независимы, а столбцы линейно выражаются через них. Следовательно, векторы образуют базис , и .

Замечание. Базис в выбирается неоднозначно. Например, векторы также образуют базис .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти размерность и базис линейной оболочки системы векторов.

8.1. . 8.2. .

8.3. . 8.4. .