Подпространства

Подмножество называется подпространством линейного пространства , если оно само является линейным пространством.

Подмножество только тогда является подпространством, когда оно замкнуто относительно линейных операций, т.е. из условия следует, что и .

Задача 2. Является ли линейным подпространством множество всех векторов плоскости, концы которых лежат на данной прямой (начала векторов, по умолчанию, в начале координат).

Решение. Если прямая не проходит через начало координат, то она не содержит нулевого вектора и, следовательно, не является подпространством.

В противном случае векторы, лежащие на этой прямой, образуют подпространство, т.к. это множество замкнуто относительно линейных операций.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Выяснить, какие из следующих множеств геометрических векторов являются линейными подпространствами.

2.1. Все векторы плоскости, которые лежат на оси .

2.2. Все векторы плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат или .

2.3. Все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой.

2.4. Все векторы плоскости, концы которых не лежат на данной прямой.

2.5. Все векторы плоскости, концы которых лежат в первой или третьей четверти системы координат.

2.6. Все векторы пространства, концы которых лежат на данной плоскости.

2.7. Все векторы пространства, концы которых не лежат на данной плоскости.

Задача 3. Является ли множество многочленов, степени которых равны точно , линейным подпространством?

Решение. Множество многочленов, степени которых равны точно , не образует подпространство, т.к. при сложении многочленов степени может получиться многочлен меньшей степени.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Выяснить, какие из следующих подмножеств линейного пространства являются линейными подпространствами.

3.1. Множество всех векторов пространства , у которых координаты − целые числа.

3.2. Множество всех векторов пространства , у которых координаты удовлетворяют уравнению .

3.3. Множество всех векторов пространства , у которых координаты удовлетворяют уравнению .

3.4. Множество всех векторов пространства , являющихся линейными комбинациями данных векторов .

3.5. Множество всех сходящихся последовательностей.

3.6. Множество всех расходящихся последовательностей.

3.7. Множество матриц вида , где .

3.8. Множество функций вида , где .

3.9. Множество многочленов вида , где .

3.10. Множество функций вида , где .

Линейная зависимость и независимость векторов

Пусть - система векторов и - произвольные числа.

Вектор называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами . Векторы называются линейно независимыми, если из равенства нулю их линейной комбинации следует, что все коэффициенты комбинации равны нулю .

Система векторов линейно зависима, когда хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией других.

Задача 4. Доказать, что линейно независимая система не содержит двух пропорциональных векторов.

Решение. Пусть в линейно независимой системе векторов , например, векторы пропорциональны. Это значит, что существует число не равное нулю, такое, что . Тогда линейная комбинация равна нулю, причем не все коэффициенты указанной комбинации равны нулю, а значит, система векторов является линейно зависимой. Следовательно, сделанное предположение неверно.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Доказать.

4.1. Линейно независимая система не содержит нулевого вектора.

4.2. Линейно независимая система не содержит равных векторов.

4.3. Линейно независимая система не содержит пропорциональных векторов.

4.4. Любая подсистема линейно независимой системы векторов независима.

Вопрос о линейной зависимости векторов пространства сводится к вопросу о существовании ненулевого решения однородной системы уравнений, коэффициентами которой являются координаты векторов .

Задача 5(1). Выяснить, является ли линейно независимой система векторов

.

Решение. Пусть линейная комбинация равна нулю. Записав это равенство в координатах, получим следующую систему уравнений:

.

Такая система уравнений называется треугольной. Она имеет единственное решение . Следовательно, векторы линейно независимы.

Задача 5(2). Выяснить, является ли линейно независимой система векторов

.

Решение. Векторы линейно независимы (см. задачу 5(1)). Докажем, что вектор является линейной комбинацией векторов . Коэффициенты разложения по векторам определяются из системы уравнений

.

Так как эта система треугольная, то она имеет единственное решение. Следовательно, система векторов линейно зависима.

Замечание. Матрицы, такие как в задаче 5(1), называются треугольными (верхними треугольными), а в задаче 5(2) – ступенчато-треугольными.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Выяснить, являются ли линейно независимыми следующие системы векторов

5.1. . 5.2. .

5.3. . 5.4. .