Тема 10. Линии и поверхности второго порядка

Гиперповерхностью второго порядка в мерном евклидовом пространстве называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка, т.е. уравнению вида: , или в векторной форме . Матрица , составленная из всех коэффициентов уравнения, называется матрицей уравнения. Квадратичная форма называется группой старших членов уравнения ( – самосопряженный оператор), – линейной частью, а – константа. Система координат, в которой матрица принимает наиболее простой вид, называется канонической. Уравнение поверхности в этой системе координат принимает канонический вид. Уравнение при задает линию, а при – поверхность второго порядка.

Декартова прямоугольная система координат в геометрическом пространстве определяется выбором начала координат и ортонормированного базиса (ОНБ). Переход к новой системе координат может быть выполнен с помощью параллельного переноса (изменения начала координат) и поворота (перехода к новому ОНБ). При переносе начала координат в точку ( ) уравнение принимает вид , где , .

Группа старших членов уравнения поверхности при этом не меняется. Если квадратичная часть имеет канонический вид, то уравнение поверхности приводится к каноническому виду с помощью только параллельного переноса.

Задача 1. С помощью переноса начала координат привести уравнение линии к каноническому виду. Назвать линию.

Решение. Выделив полные квадраты по каждой из переменных и , получим уравнение . В переменных уравнение примет вид , или . Это уравнение гиперболы с центром в точке и действительной осью .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

С помощью переноса начала координат привести уравнение линии к каноническому виду. Назвать и нарисовать эту линию на плоскости .

1.1. . 1.2. .

1.3. . 1.4. .

Задача 2. С помощью переноса начала координат привести к каноническому виду уравнение поверхности . Назвать поверхность.

Решение. Выделим полные квадраты по каждой из переменных и . Получим уравнение . После замены переменных уравнение примет вид .

Это каноническое уравнение гиперболического параболоида.

Замечание. Если коэффициент при квадрате переменной (канонический коэффициент) отличен от нуля, то линейная часть канонического уравнения не содержит этой переменной. В частности, если все канонические коэффициенты квадратичной формы отличны от нуля, то каноническое уравнение не содержит линейных членов.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

С помощью переноса начала координат привести уравнение поверхности к каноническому виду и назвать эту поверхность.

2.1. .

2.2. .

2.3. .

2.4. .

2.5. .

Если квадратичная форма невырожденная , то поверхность центральная (имеет единственный центр симметрии). При переносе начала координат в центр поверхности, линейная часть уравнения обращается в ноль, следовательно, центр поверхности удовлетворяет уравнению . При этом константа вычисляется по формуле: .

Задача 3. Перенести начало координат в центр линии и записать уравнение линии в новой системе координат.

Решение. Перенос начала координат в т. задается формулами , где – старые, а – новые координаты точки . Для определения координат центра линии запишем уравнение линии в координатах и приравняем к нулю коэффициенты при и . Получим следующую систему уравнений: . Решив эту систему, получим .

Для вычисления константы надо в левую часть уравнения линии подставить координаты центра, т.е. . Таким образом, координаты центра , а уравнение линии в новой системе координат имеет вид .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Перенести начало координат в центр линии и записать уравнение линии в новой системе координат.

3.1. . 3.2. .

3.3 . 3.4. .

Задача 4. Перенести начало координат в центр поверхности и записать уравнение поверхности в новой системе координат.

Решение. Центр поверхности удовлетворяет уравнению . Система для определения координат центра задается первыми тремя строками матрицы уравнения поверхности .

Эта система имеет вид . Решив систему, найдем координаты центра . Новая константа определяется равенством . Уравнение линии в новой системе координат имеет вид .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Перенести начало координат в центр поверхности , и записать уравнение поверхности в новой системе координат.

4.1.. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

Для приведения уравнения центральной поверхности второго порядка к каноническому виду надо перенести начало координат в центр поверхности, а затем найти канонический ОНБ квадратичной формы .

Задача 5. Уравнение линии привести к каноническому виду, назвать линию и найти каноническую систему координат.

Решение. Составим систему уравнений для определения координат центра линии. Получим: . После переноса начала координат в точку уравнение линии примет следующий вид: . Для приведения этого уравнения к каноническому виду, найдем канонические коэффициенты квадратичной формы, являющиеся собственными значениями матрицы квадратичной формы. Составим характеристическое уравнение матрицы : . Корни этого уравнения . Канонический вид уравнения линии , или . Это гипербола.

Канонический ОНБ квадратичной формы состоит из собственных векторов матрицы . Собственный вектор с собственным значением удовлетворяет уравнению , а с собственным значением – уравнению . Нормированные решения этих уравнений дают собственный ОНБ. . Каноническое уравнение задает гиперболу. Каноническая система координат определяется новым началом координат и матрицей перехода к каноническому ОНБ .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Уравнение линии привести к каноническому виду, назвать линию и найти каноническую систему координат .

5.1. . 5.2. .

5.3. . 5.4. .

Для приведения к каноническому виду уравнения линии (поверхности) параболического типа, надо сначала выполнить поворот (перейти к каноническому ОНБ квадратичной формы), а затем перенести начало координат в вершину параболоида.

Задача 6. Уравнение линии привести к каноническому виду, назвать линию и найти каноническую систему координат.

Решение. Это уравнение линии параболического типа, т.к. . Один из корней характеристического уравнения равен нулю. Ненулевой корень равен . Матрица перехода к каноническому ОНБ квадратичной формы имеет вид: . Система определяет связь между старыми и новыми координатами. Записав уравнение линии в координатах , получим . Выделив полный квадрат по переменной , приведем уравнение к виду . В координатах получим каноническое уравнение параболы . Начало координат канонической системы координат находится в вершине параболы. Определим координаты в исходной системе координат. Из .

Ответ. Каноническое уравнение задает параболу. Каноническая система координат определяется точкой и матрицей перехода .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Уравнение линии привести к каноническому виду, назвать линию и найти каноническую систему координат .

6.1. . 6.2. .

6.3. . 6.4. .

Канонический вид уравнения поверхности второго порядка можно получить с помощью инвариантов уравнения. Инвариантами уравнения поверхности второго порядка при являются инварианты матрицы квадратичной формы и определитель матрицы уравнения .

В случае центральной поверхности ( ), уравнение приводится к виду . Канонические коэффициенты , определяются по инвариантам а находится из равенства .

Если , то уравнение приводится к виду . Коэффициенты определяются по инвариантам , а число удовлетворяет уравнению .

Задача 7. С помощью инвариантов написать каноническое уравнение поверхности .

Решение. По матрице квадратичной формы: вычислим инварианты. , , . Так как , то уравнение приводится к каноническому виду Характеристическое уравнение имеет вид . Ненулевые корни этого уравнения Для определения коэффициента надо сравнить значение инварианта для исходного уравнения и для канонического. Вычислив , получим, что . Поделив уравнение на 36, получим каноническое уравнение гиперболического параболоида

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

С помощью инвариантов написать каноническое уравнение поверхности и назвать эту поверхность.

7.1. .

7.2. .

7.3. .

7.4. .

7.5. .

7.6. .

Ответы

1.1. Окружность . 1.2. Эллипс .

1.3. Гипербола . 1.4. Парабола .

2.1. Сфера . 2.2. Эллипсоид .

2.3. Двуполостный гиперболоид . 2.4. Однополостный гиперболоид . 2.5. Эллиптический параболоид .

В задачах 3.1.-4.4. в ответах приводятся координаты центра и уравнение линии (поверхности) в новых координатах.

3.1. . 3.2. .

3.3. . 3.4. .

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

В задачах 5.1.-6.4. в ответах приводятся название и каноническое уравнение линии, координаты нового начала координат и матрица перехода к каноническому ОНБ.

5.1. Эллипс , , .

5.2. Гипербола , .

5.3. Эллипс , , .

5.4. Вырожденная гипербола – пара пересекающихся прямых , .

6.1. Парабола .

6.2. Парабола .

6.3. Парабола .

6.4. Парабола .

7.1. Эллипсоид .

7.2. Однополостный гиперболоид .

7.3. Двуполостный гиперболоид .

7.4. Конус вращения .

7.5. Эллиптический параболоид .

7.6. Гиперболический параболоид .

О тветственность за сведения, представленные в издании, несут авторы.

Учебное издание

НОЛЬДЕ Евгений Львович

ГУБАРЕВА Елена Алексеевна