Тема 9. Билинейные и квадратичные формы

Билинейной формой называется числовая функция (  ), линейная по каждому аргументу. выражается через координаты векторов в базисе по формуле , где .

Матрица называется матрицей билинейной формы в базисе .

Если , – столбцы из координат векторов в базисе , то матричная запись формы имеет вид . Матрицы билинейной формы и связаны соотношением , где – матрица перехода от к .

Напомним, для сравнения, что матрицы линейного оператора в базисах и связаны соотношением .

Если , то билинейная форма симметричная. Матрица симметричной формы симметрична.

Задача 1. Найти матрицу билинейной формы , где .

Решение. Коэффициент при произведении равен , следовательно

.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти матрицу билинейной формы .

1.1. .

1.2. .

1.3. .

1.4. , где – скалярное произведение.

Задача 2. Записать билинейную форму, заданную матрицей .

Решение.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Записать билинейную форму, заданную матрицей .

2.1. . 2.2. .

2.3. . 2.4. .

Квадратичной формой называется функция , где − билинейная форма. Отображение билинейных форм в квадратичные формы не является взаимно однозначным. Среди всех билинейных форм , порождающих данную квадратичную форму, существует только одна симметричная.

Матрицей квадратичной формы называется матрица соответствующей ей симметричной билинейной формы.

Задача 3. Для билинейной формы , где , записать матрицу соответствующей квадратичной формы.

Решение. Симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной

форме , имеет вид:

.

Матрица квадратичной формы связана с матрицей соответствующей билинейной формы следующим соотношением: . Таким образом .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Для билинейной формы , записать матрицу соответствующей квадратичной формы.

3.1. .

3.2. .

3.3. .

3.4. , где – скалярное произведение.

Базис, в котором квадратичная форма имеет вид , называется каноническим. Такой вид формы называется каноническим, а числа – каноническими коэффициентами. Для приведения формы к каноническому виду применяется метод Лагранжа.

Канонические коэффициенты формы определены неоднозначно. Однозначно определен нормированный вид квадратичной формы .

Числа положительных и отрицательных канонических коэффициентов однозначно определяют класс эквивалентности квадратичных форм.

Задача 4. Привести к нормированному виду квадратичную форму .

Решение. Приведем форму к каноническому виду методом Лагранжа. Выделим полный квадрат из членов квадратичной формы, содержащих переменную . Получим . Положим . Тогда . Так как форма не содержит квадратов переменных , то нельзя выделить полный квадрат ни по какой из переменных. В этом случае надо преобразовать произведение переменных в разность квадратов. Сделаем следующую замену переменных: . В новых переменных форма примет следующий канонический вид: . Для приведения формы к нормированному виду надо переменные нормировать, т.е. ввести новые переменные по формулам: . Тогда .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Привести к нормированному виду квадратичную форму.

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

Задача 5. Выяснить, какие из форм эквивалентны: , , .

Решение. Чтобы установить эквивалентность форм, надо сравнить число положительных и отрицательных канонических коэффициентов для каждой из форм.

Так как произведение переменных преобразуется в разность квадратов, то для формы , для формы и для формы . Следовательно, формы и эквивалентны.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Выяснить, какие из форм эквивалентны.

5.1. ; ; .

5.2. , , .

Пусть – левый верхний угловой минор порядка матрицы квадратичной формы. Канонические коэффициенты определяются методом Якоби по формуле . Метод Якоби применим, если .

Квадратичная форма называется положительно определенной, если . Для положительной определенности формы необходимо и достаточно, чтобы все были положительны (критерий Сильвестра).

Задача 6. Найти канонические коэффициенты квадратичной формы методом Якоби.

Решение. Запишем матрицу квадратичной формы . .

Вычислим угловые миноры матрицы . Получим , , . Найдем канонические коэффициенты .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти канонические коэффициенты квадратичной формы методом Якоби.

6.1. .

6.2. .

6.3. .

6.4. .

Задача 7. Найти значения , при которых квадратичная форма положительно определена.

Решение. Запишем матрицу квадратичной формы . Вычислим угловые миноры матрицы . Получим , , . Решим систему неравенств .

Эта система имеет вид: . Решение системы .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти значения , при которых форма положительно определена.

7.1. .

7.2. .

7.3. .

7.4. .

Канонические коэффициенты квадратичной формы в евклидовом пространстве являются собственными значениями ее матрицы , т.е. корнями характеристического уравнения . Канонический базис является собственным ОНБ самосопряженного оператора , определенного матрицей . Квадратичные формы и называются ортогонально эквивалентными, если , где – изометрический оператор. Полную систему инвариантов квадратичной формы в евклидовом пространстве образуют инварианты матрицы .

Задача 8. Найти канонический вид в евклидовом пространстве квадратичной формы .

Решение. Ищем корни уравнения . Уравнение имеет вид:

.

Чтобы не вычислять коэффициенты и корни этого уравнения четвертого порядка, проведем следующие рассуждения. При матрица состоит из одних единиц и, следовательно, ее ранг равен 1. Это означает, что корень имеет кратность 3, т.е. . Корень найдем с помощью инварианта . Инвариант (след матрицы) для матрицы равен 8, а для канонической матрицы . Канонический вид .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти канонический вид формы в евклидовом пространстве.

8.1. .

8.2. .

8.3. .

8.4. .

Задача 9. Найти канонический ОНБ квадратичной формы .

Решение. Составим характеристическое уравнение . Оно имеет вид: , или . Числа являются корнями этого уравнения. Найдем собственный ОНБ оператора , заданного матрицей . Напомним, что координаты собственного вектора оператора с собственным значением , удовлетворяют системе . При эта система эквивалентна уравнению . Ортогональный базис этого подпространства образуют векторы . Вектор , ортогональный векторам , является собственным вектором с собственным значением . Система образует ортогональный базис пространства. Собственный ОНБ образуют векторы .

В ответе приведем матрицу перехода к каноническому ОНБ (определена неоднозначно) и .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я.

Найти канонический ОНБ квадратичной формы и ее вид в канонических координатах.

9.1. .

9.2. .

9.3. .

9.4. .

Задача 10. Выяснить, какие из форм ортогонально эквивалентны:

,

,

.

Решение. Выпишем матрицы квадратичных форм соответственно, и для каждой из них вычислим инварианты .

.

. Следовательно, форма не эквивалентна формам и . Сравним и только для форм и .

, .

, .

Формы и эквивалентны, т.к. все инварианты для них совпадают.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Выяснить, какие из форм ортогонально эквивалентны.

10.1. , , .

10.2. ,

,

.

10.3. , , , .

10.4. , , , .

Ответы

1.1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. В произвольном базисе является матрицей Грама системы базисных векторов. В ОНБ матрица единичная.

2.1. .

2.2. .

2.3. .

2.4. .

3.1. . 3.2. . 3.3. – нулевая матрица.

3.4. , т.е. является матрицей Грама. В ОНБ .

4.1. . 4.2. . 4.3. .

4.4. .

5.1. Эквивалентны формы и . 5. 2. Эквивалентны формы и .

6.1. . 6.2. .

6.3. . 6.4. .

7.1. . 7.2. . 7. 3. и 7.4. Таких значений нет.

8.1. . 8.2. . 8.3. .

8.4. .

9.1. .

9.2. .

9.3. .

9.4. .

10.1. Ортогонально эквивалентны между собой формы и .

10.2. Ортогонально эквивалентны между собой формы и .

10.3. Ортогонально эквивалентны между собой формы и , а также и .

10.4. Ортогонально эквивалентны между собой формы и , а также и .