Тема 7. Смена базиса Матрица перехода
Пусть
и
два базиса в пространстве
и
– разложение векторов базиса {f}
по базису
.
Коэффициенты этого разложения определяют
матрицу
=
,
которая называется матрицей
перехода
от базиса
к базису
.
Оператор, переводящий базис
в базис
,
называется оператором перехода.
Матрицы
и
,
составленные из координат векторов
базисов
и
в некотором фиксированном базисе,
связаны с матрицей перехода
соотношением:
или
.
Задача
1(1). Найти
матрицу перехода от базиса
к базису
,
если
.
Решение.
Так как
,
то сначала найдем
.
,
Задача
1(2). Найти
матрицу перехода от базиса
к базису
,
если
Решение.
В столбцах
матрицы перехода
стоят коэффициенты разложения бинома
по степеням
.
Следовательно
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Найти матрицу перехода от базиса к базису .
1.1.
.
1.2.
.
1.3.
.
1.4.
.
1.5.
.
Как изменится матрица перехода от базиса к базису , если:
2.1. Поменять местами два вектора базиса .
2.2. Поменять местами два вектора базиса .
2.3. Записать векторы базиса в обратном порядке.
2.4. Записать векторы базиса в обратном порядке.
2.5. Записать векторы базисов и в обратном порядке.
Изменение координат вектора и коэффициентов линейной формы
Пусть
и
– вектор-столбцы из координат вектора
в базисах
и
соответственно. Тогда
и
,
т.е.
.
Из этого следует что
,
или
.
Если
и
«старые» (в базисе
)
и «новые» (в базисе
)
коэффициенты линейной формы
,
то значение линейной формы
на векторе
задается произведениями
в базисе
и
в базисе
.
Отсюда следует равенство:
,
или
.
Задача
3(1). Вектор
и векторы базиса
заданы координатами в некотором
фиксированном базисе:
.
Найти
координаты вектора
в базисе
.
Решение.
Столбец
координат вектора
в базисе
удовлетворяет системе линейных
алгебраических уравнений
,
или подробнее,
.
Решив эту систему, получим
.
Замечание.
Если надо найти координаты нескольких
векторов в одном и том же базисе
,
то проще сначала вычислить матрицу
,
а затем применить формулу
.
Задача
3(2). Вектор
и векторы базиса
заданы координатами в некотором
фиксированном базисе:
,
,
,
;
Найти координаты вектора
в базисе
.
Решение.
Координаты вектора
в базисе
– это коэффициенты разложения многочлена
по степеням
,
т.е. коэффициенты Тейлора
.
Вычислив все
,
получим разложение:
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Вектор и векторы базиса заданы координатами в некотором фиксированном базисе. Найти координаты вектора в базисе .
3.1.
.
3.2.
.
3.3.
.
3.4.
.
Задача
4. Найти
коэффициенты линейной формы
в базисе
,
если
.
Решение.
Коэффициенты
линейной формы в базисе
определяются из равенства
,
т.е.
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Найти коэффициенты линейной формы в базисе .
4.1.
,
,
.
4.2.
,
,
,
.
4.3.
,
,
,
.
4.4.
,
,
,
,
.