Неоднородные системы
СЛАУ
называется неоднородной, если столбец
свободных членов
отличен от нуля. Система совместна, если
ранг основной матрицы системы равен
рангу расширенной матрицы, т.е.
.
Общее решение
представимо в виде:
,
где
- частное решение неоднородной системы,
а
- общее решение соответствующей однородной
системы.
Задача
3. Найти
общее решение системы уравнений
.
Решение. Расширенную матрицу системы с помощью линейных преобразований строк приведем к ступенчато-треугольному виду.
.
Система
совместна, так как
.
ФСР однородной СЛАУ
,
частное решение неоднородной СЛАУ
.
Общее
решение можно записать в виде:
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Найти общее решение систем уравнений.
3.1.
.
3.2.
.
3.3.
.
3.4.
.
Задача
4. Решить
систему
при всех
значениях параметра
.
Решение. Расширенную матрицу системы с помощью линейных преобразований строк приведем к ступенчато-треугольному виду.
.
При
.
Общее решение имеет вид
.
Если
,
то расширенная матрица системы приводится
к виду
.
При
,
т.е. система несовместна.
При
единственное решение
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Решить систему при всех значениях параметра .
4.1.
.
4.2.
.
Задача
5. Найти
точку пересечения прямых
и
,
если
.
Решение.
Точка пересечения прямых представима
в виде
и
.
Таким образом, для того, чтобы найти
точку
,
надо решить линейную относительно
систему
.
Система
имеет единственное решение, если векторы
и
не коллинеарны и вектор
,
т.е. ранги основной и расширенной матриц
системы равны 2. Если ранг расширенной
матрицы равен 3, то прямые скрещиваются,
если ранг основной матрицы 1, а расширенной
2, прямые параллельны, и если оба ранга
равны 1, прямые совпадают.
Для
нашей задачи система принимает вид:
.
В результате элементарных преобразований
получаем:
.
Таким образом, прямые пересекаются в
одной точке с координатами
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Найти точку пересечения прямых и .
5.1.
.
5.2.
.
5.3.
.
5.4.
.
5.5.
.
Ответы
1.1.
.
1.2.
.
1.3.
.
1.4.
.
В задачах 2.1.-2.5. в ответах приводится одна из ФСР.
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
2.5.
.
3.1.
.
3.2.
.
3.3.
.
3.4.
.
4.1.
При
,
при
общее решение
,
при
система несовместна. 4.2.
При
,
при
система несовместна.
5.1.
.
5.2.
.
5.3.
Прямые совпадают. 5.4.
Нет решения. Прямые скрещиваются. 5.5.
Нет решения. Прямые параллельны.
Тема 6. Евклидовы пространства
Функция
,
называется скалярным
произведением
векторов
и
,
если выполнены условия:
1.
(симметрия).
2.
(линейность относительно сложения).
3.
(линейность относительно умножения на
число).
4.
,
если
(положительная определенность).
Линейное пространство L, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством.
Длина
вектора
определяется равенством
,
угол
между векторами
и
вычисляется по формуле
.
Задача 1. Используя свойства скалярного произведения, доказать теорему о диагоналях параллелограмма.
Решение. Докажем, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Пусть
- стороны, а
- диагонали параллелограмма. Тогда
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Доказать следующие теоремы:
1.1. Теорему Пифагора. 1.2. Теорему косинусов. 1.3. Теорему о диагоналях ромба. 1.4. Теорему о трех перпендикулярах.
Задача 2. В тетраэдре (правильном четырехграннике) вычислить угол между ребром и гранью.
Решение.
Выберем базис, состоящий из векторов
длины 1, выходящих из одной вершины
тетраэдра и направленных по его ребрам.
Так как углы между ребрами тетраэдра
равны
,
то скалярные произведения базисных
векторов
следующие:
,
.
Угол
между ребром
и гранью, содержащей ребра
и
,
равен углу между векторами
и
.
Так как
,
,
,
то
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Вычислить в тетраэдре следующие углы.
2.1. Угол между высотой и ребром. 2.2. Угол между высотой и боковой гранью. 2.3. Угол между гранями. 2.4. Угол между высотами граней, опущенными из одной вершины.
Скалярное
произведение
в произвольном базисе
выражается через координаты следующим
образом:
.
Векторы
и
называются ортогональными,
если
.
Ортогональность геометрических векторов
означает их перпендикулярность.
Базис,
состоящий из попарно ортогональных
векторов, называется ортогональным.
Базис называется ортонормированным
(ОНБ), если он состоит из ортогональных
векторов длины 1. В ОНБ скалярное
произведение принимает наиболее простой
вид:
.
Ниже, по умолчанию, векторы заданы координатами в ОНБ.
Задача
3. Найти
угол между векторами
и
.
Решение.
,
,
т.е.
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Найти угол между векторами и .
3.1.
.
3.2.
;
.
3.3.
.
3.4.
.
Задача
4. Дополнить
до ортогонального базиса систему
векторов
Решение.
Векторы
,
,
дополняющие
и
до ортогонального базиса, удовлетворяют
условиям:
.
Для решения этой системы уравнений преобразуем ее матрицу.
.
Выберем
.
Вектор
должен удовлетворять условиям:
.
Эта система уравнений эквивалентна системе с матрицей
.
Вектор
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Дополнить до ортогонального базиса систему векторов.
4.1.
.
4.2.
4.3.
.
4.4.
.
Найти ОНБ пространства L, заданного уравнением.
5.1.
.
5.2.
.
5.3.
.
5.4.
.
Указание. Сначала, как в задачах 4, ищется ортогональный базис пространства . Для построения ОНБ каждый вектор полученного базиса нормируется, т.е. делится на свою длину.
Множество
всех векторов из E, ортогональных к
подпространству L, образует подпространство,
которое называется ортогональным
дополнением
к L. Отметим, что
,
т.е. xЕ
существует единственное разложение
,
где
,
а
.
Слагаемое
называется проекцией
вектора
на L, а
перпендикуляром, опущенным из
на L или ортогональной составляющей
вектора
.
Если
является линейной оболочкой системы
векторов
,
то
задается
системой уравнений
,
а если
задано системой уравнений
,
то
.
Задача
6. Найти
проекцию
и
ортогональную составляющую
вектора
на
подпространство
,
если
,
.
Решение.
В разложении
проекция
,
т.е. имеет вид
.
Следовательно
.
Умножив
последовательно это равенство скалярно
на
и
,
получим, учитывая ортогональность
подпространству
,
следующую систему уравнений
.
Для
заданных векторов эта система принимает
вид
.
Подставив
решения системы
в разложение
,
получим
,
а
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Найти проекцию и ортогональную составляющую вектора на подпространство .
6.1.
,
если
.
6.2.
,
если
,
.
6.3.
,
задано системой:
.
6.4.
,
задано системой:
.
Указание. В задачах 6.3., 6.4. линейной оболочкой является не , а , поэтому сначала ищется , а затем .
Замена
вектора перпендикуляром, опущенным на
подпространство, лежит в основе процесса
ортогонализации.
Этот процесс позволяет из произвольной
системы векторов
получить ортогональную систему
,
такую, что
.
Система
строится так:
,
где
перпендикуляр, опущенный из вектора
на
.
Для
линейно независимой системы
все
,
поэтому
можно найти по формуле
.
Задача 7. Применить процесс ортогонализации к системе векторов
Решение.
Положим
.
Так как
,
то
.
Вычислим
,
,
.
Следовательно
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Применить процесс ортогонализации к системе векторов.
7.1.
7.2.
7.3.
,
если
.
7.4.
,
если
.
Определителем
Грама
системы векторов
называется определитель
.
Основные свойства определителя Грама:
1.
Если векторы
линейно зависимы, то
.
2.
,
где
− перпендикуляр, опущенный из вектора
на подпространство
.
3.
,
где система
получена в результате ортогонализации
системы векторов
.
Задача
8. Найти
расстояние между прямыми
и
и указать
ближайшие точки, если
.
Решение.
Расстояние между прямыми – это минимум
расстояний
между произвольными точками указанных
прямых. При параллельном переносе
расстояние между точками не меняется,
поэтому
.
Задача свелась к определению расстояния
от вектора
до линейной оболочки векторов
и
.
Расстояние
определяется из равенства
.
Для
заданных прямых
,
,
.
Следовательно
.
Для
решения этой задачи можно также найти
разложение
,
как в задаче 6, и вычислить
.
Ближайшие
точки
и
соответствуют значениям параметров
,
удовлетворяющих условию
.
Параметры
могут быть найдены из системы уравнений
.
Для заданных прямых получаем:
,
и следовательно, ближайшие точки имеют
координаты
и
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Найти расстояние между прямыми и , указать ближайшие точки.
8.1.
.
8.2.
.
Задача 9(1). Определить число вершин -мерного куба.
Решение.
В базисе,
состоящем из векторов длины 1, направленных
по ребрам куба, выходящим из одной
вершины, координаты всех вершин равны
0 или 1. Следовательно, число вершин равно
.
Задача 9(2). В -мерном кубе определить число диагоналей, ортогональных данной.
Решение.
Каждой
диагонали соответствуют два противоположных
вектора, все координаты которых равны
1 или (–1). Диагональ, ортогональная
вектору, у которого все координаты равны
1, имеет одинаковое число положительных
и отрицательных координат. Следовательно,
при нечетном
,
ортогональных диагоналей нет. При
число диагоналей, ортогональных данной
диагонали, равно
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
В n-мерном кубе с ребром длины l определить:
9.1. Число ребер. 9.2. Число диагоналей. 9.3. Длину диагонали.
9.4.
Проекцию ребра на диагональ. 9.5.
Угол между диагональю и ребром. 9.6.
Радиус
сферы, описанной около куба. При каких
?
Ответы
2.1.
.
2.2.
.
2.3.
.
2.4.
.
3.1.
,
т.е.
.
3.2.
.
3.3.
.
3.4.
,
т.е.
.
В задачах 4.1.-4.4. в ответах приводится один из возможных вариантов дополнения.
4.1.
.
4.2.
.
4.3.
.
4.4.
.
В задачах 5.1.-5.3. в ответах приводится матрица, столбцы которой состоят из координат базисных векторов. Базис может быть выбран неоднозначно.
5.1.
.
5.2.
.
5.3.
.
5.4.
.
6.1.
,
.
6.2.
,
.
6.3.
,
.
6.4.
,
.
7.1.
7.2.
7.3.
.
7.4.
.
8.1.
,
ближайшие точки
и
.
8.2.
,
ближайшие точки
и
.
9.1.
.
9.2.
.
9.3.
.
9.4.
.
9.5.
.
9.6.
