Матричные уравнения

1. Уравнения вида и . Если невырожденная матрица ( ), то решение первого уравнения дается формулой , а второго формулой .

2. Уравнения вида решаются аналогично, при условии, что и невырожденные матрицы. Решение дается формулой .

3. Уравнения п.п. 1) и 2) в случае вырожденности соответствующих матриц, а также уравнения вида сводятся к решению систем линейных уравнений относительно элементов матрицы .

Задача 7(1). Решить матричное уравнение .

Решение. .

Задача 7(2). Решить матричное уравнение .

Решение. .

Задача 7(3). Решить матричное уравнение .

Решение. Так как матрица вырождена, а матрица невырожденная, то уравнение не имеет решений.

Задача 7(4). Решить матричное уравнение .

Решение. Определитель матрицы равен нулю, поэтому она не имеет обратной матрицы. Это уравнение сведем к системе уравнений относительно матричных элементов матрицы . Имеем:

.

Следовательно, , где и любые числа.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Решить матричные уравнения.

7.1. . 7.2. .

7.3. . 7.4. .

Ответы

1.1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. .

2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .

3.1. . 3.2. . 3.3. .

3.4. .

4.1. . 4.2. . 4.3. .

4.4. .

5.1. . 5.2. . 5.3. .

5.4. . 5.5. .

6.1. . 6.2. .

7.1. . 7.2. . 7.3. . 7.4. Нет решений.

Тема 5. Системы линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений с неизвестными (ниже СЛАУ или система) имеет следующий вид:

или, в матричной записи, ,

где – основная матрица системы, – столбец переменных, – столбец свободных членов. Матрица , полученная из матрицы добавлением столбца свободных членов , называется расширенной матрицей системы.

Правило Крамера

Пусть СЛАУ  квадратная (число уравнений равно числу неизвестных) и . Тогда система имеет единственное решение, которое определяется по формуле , где  определитель матрицы, полученной из матрицы заменой - го столбца столбцом свободных членов .

Задача 1(1). Решить по правилу Крамера систему уравнений

.

Решение. Расширенная матрица системы имеет следующий вид:

.

Вычислим определители . , , .

Таким образом .

Задача 1(2). Решить по правилу Крамера систему уравнений .

Решение. Расширенная матрица системы имеет вид .

, , ,

.

Ответ: .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Решить системы уравнений по правилу Крамера.

1.1. . 1.2. .

1.3. . 1.4. .

Однородные системы

СЛАУ называется однородной.

Однородная система всегда совместна, так как она имеет тривиальное (нулевое) решение. Однородная СЛАУ имеет нетривиальные решения, если ранг матрицы меньше числа неизвестных.

Выберем линейно независимых столбцов матрицы , где . Соответствующие этим столбцам переменные называются базисными, а остальные переменные - свободными. Каждое решение системы однозначно задается набором свободных переменных. Множество всех решений однородной системы образует подпространство размерности . Базис пространства , состоящий из линейно независимых решений, называется фундаментальной системой решений (ФСР). Для получения ФСР достаточно задать линейно независимых наборов свободных переменных и найти соответствующие им решения системы. Пусть  ФСР. Общее решение однородной системы представимо в виде: .

Задача 2. Найти ФСР и общее решение системы уравнений

.

Решение. Приведем матрицу с помощью линейных преобразований строк к ступенчато треугольному виду.

.

Ранг системы равен двум. Пусть – базисные, а – свободные переменные. Перенеся свободные переменные в правую часть уравнений, запишем систему в следующем виде: .

ФСР зададим следующими наборами свободных переменных: ; ; .

Общее решение .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти ФСР и общее решение систем уравнений.

2.1. . 2.2. .

2.3. . 2.4. .

2.5. .