Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Государственный университет управления»

Институт информационных систем управления

О д о б р е н о

Президиумом НМС ГУУ

Е.Л. НОЛЬДЕ

кандидат физико – математических наук, доцент

Е.А. ГУБАРЕВА

кандидат физико – математических наук

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ

Учебное пособие

для студентов специальностей

«Математические методы в экономике» - 080116

«Информационный менеджмент» - 080508

«Статистика» - 080601

Москва-2008

УДК 512.64(075)

6Н1

Н80

Ответственный редактор

заведующий кафедрой высшей математики,

доктор экономических наук, профессор

В.В. Лебедев

Рецензенты

кандидат физико-математических наук, доцент

И.А. Дигайлова

(ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова)

кандидат физико-математических наук, доцент

С.И. Хашин

(Ивановский государственный университет)

Нольде Е.Л., Губарева Е.А.

Линейная алгебра в примерах и задачах [Текст]: учебное пособие для студентов специальностей «Математические методы в экономике» - 080116, «Информационный менеджмент» - 080508, «Статистика» - 080601/ Государственный университет управления, Институт информационных систем управления ГУУ. – М.: ГУУ, 2008. - 81 с.

ISBN 978-5-215-01981-8

В учебном пособии изложены основные понятия и методы линейной алгебры, применяемые в математической экономике, линейном и квадратичном программировании, исследовании операций и других приложениях. Пособие может быть полезным студентам всех экономико-математических специальностей вузов, которые интересуются возможностями использования методов линейной алгебры для анализа детерминированных математических моделей социально-экономических процессов.

УДК 512.64(075)

6Н1

ISBN 978-5-215-01981-8 Ó Нольде Е.Л., Е.А. Губарева, 2008

Ó ГОУВПО «Государственный университет

управления», 2008

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 4

Тема 1. Линейные пространства 5

Тема 2. Линейные формы и линейные операторы 16

Тема 3. Определители 26

Тема 4. Алгебра матриц 33

Тема 5. Системы линейных уравнений 40

Тема 6. Евклидовы пространства 47

Тема 7. Смена базиса 55

Тема 8. Канонический вид матрицы линейного оператора 60

Тема 9. Билинейные и квадратичные формы 67

Тема 10. Линии и поверхности второго порядка 75

Введение

Учебное пособие по дисциплине «Линейная алгебра» адресовано студентам специальностей «Математические методы в экономике», «Информационный менеджмент» и «Статистика». Пособие полностью соответствует принятой в ГУУ учебной программе раздела «Линейная алгебра» дисциплины «Математика». В основу пособия положен материал полугодового курса, читаемого кафедрой высшей математики для студентов ГУУ. Пособие предназначено для использования как на практических занятиях, так и для организации самостоятельной работы студентов. В учебном пособии изложены основные понятия и методы линейной алгебры, применяемые в математической экономике, линейном и квадратичном программировании, исследовании операций и других приложениях. Оно поможет студентам указанных специальностей не только усвоить фундаментальные понятия, но и получить навыки решения основных задач линейной алгебре.

Предлагаемое пособие представляет собой переработку и адаптацию классического курса линейной алгебры физико-математических факультетов университетов и отвечает современным требованиям к уровню математической подготовки специалистов в области управления.

Представлены десять основных тем, в которых последовательно излагаются фундаментальные разделы курса: линейные пространства, линейные формы и линейные операторы в линейном пространстве, теория определителей, основы матричной алгебры, теория систем линейных алгебраических уравнений, евклидовы пространства, переход к новой системе координат, задача о собственных векторах и собственных значениях линейного оператора, приведение матрицы линейного оператора к каноническому виду, билинейные формы, квадратичные формы в линейном и евклидовом пространствах, теория линий и поверхностей второго порядка.

По каждой теме выделены основные понятия и определения, приведены примеры решения типовых задач различного уровня сложности, предложены задачи для самостоятельного решения.

Пособие может быть полезным студентам всех экономико-математических специальностей вузов, которые интересуются возможностями использования методов линейной алгебры для анализа детерминированных математических моделей социально-экономических процессов.

Тема 1. Линейные пространства

Множество L называется линейным пространством, если в L введены операции сложения элементов и умножения элемента на число, обладающие следующими свойствами, которые называются аксиомами линейного пространства:

1.1. 1.2.

1.3. ; 1.4. ;

2.1. ; 2.2. ;

2.3. ; 2.4. .

Задача 1. Проверить, что множество всех матриц размера относительно операций сложения матриц и умножения матрицы на число является линейным пространством.

Решение. При сложении матриц складываются элементы матрицы, стоящие на одинаковых местах, а при умножении матрицы на число все матричные элементы умножаются на это число. Таким образом, на каждом месте матрицы выполняются линейные операции с действительными числами. На множестве действительных чисел аксиомы линейного пространства, очевидно, выполнены, поэтому они выполнены и на множестве матриц.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Проверить, что следующие множества являются линейными пространствами.

1.1. Множества геометрических векторов на прямой, плоскости и в пространстве соответственно (линейные операции над геометрическими векторами определены по обычным правилам).

1.2. Множество упорядоченных наборов чисел . Набор называется арифметическим вектором, а числа – его координатами. При сложении векторов складываются их координаты, а при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. Множество называется арифметическим или координатным - мерным пространством.

1.3. Множество непрерывных на отрезке функций с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа.

1.4. Множество многочленов степени не выше от одной переменной с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа.

Указание. Проверить выполнение аксиом линейного пространства.