49. Свойства определенного интеграла
Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е
II. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю.
III. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.
IV. Если промежуток интегрирования [a,b] разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутке [a,b], равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.
V. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
50. Формула Ньютона-Лейбница.
Пусть
функция y
= f(x) непрерывна
на отрезке [a;
b] и F(x) -
одна из первообразных функции на этом
отрезке, тогда справедлива формула
Ньютона-Лейбница: 
.
Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.
Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).
Пусть 
определена
на
.
Разобьём
на
части с несколькими произвольными
точками 
.
Тогда говорят, что произведено
разбиение 
отрезка 
Далее
выберем произвольную точку 
, 
,
Определённым
интегралом от функции
на
отрезке
называется
предел интегральных сумм при стремлении
ранга разбиения к нулю 
,
если он существует независимо от
разбиения
и
выбора точек 
,
то есть
Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.
51. Метод замены переменной в определенном интеграле
При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.
52 Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации.
Формула
интегрирования по частям следующая 
.
54 Площадь криволинейного сектора в полярной системе координат
Пусть кривая АВ задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ (φ), α ≤ φ ≤ β причем функция ρ(φ) непрерывна и неотрицательна на отрезке [α, β]. Плоскую фигуру, ограниченную кривой АВ и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы α и β, будем называть криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора может быть вычислена по формуле
Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [α, β] на n частей точками α = φ0 < φ1 < φ2 < … < φi - 1 < φi < … < φn = β Выберем на каждом частичном отрезке [φi - 1, φi], i = 1, 2,… , n, произвольно точку
ξi ( φi−1 ≤ ξi ≤ φi )
и построим круговые секторы с радиусами ρ (ξ i ). В результате получена веерообразная фигура, площадь которой будем считать приближенно равной площади криволинейного сектора:
где Δ φ i = φ i − φ i - 1. (смотри рисунок.) Таким образом, получена интегральная сумма σ для интеграла. Так как функция ρ2 (φ) непрерывна на отрезке [α, β], то предел этой суммы существует при
и площадь криволинейного сектора численно равна половине определенного интеграла от функции ρ2 (φ) на [α, β]:
