4.3. Электропроводность проводников

     Электропроводность проводников следовало бы рассматривать с позиций квантовой механики, однако, это - сложная для вводного курса задача. Поэтому воспользуемся полуклассическим подходом для вычисления электропроводности проводников.

     Рассмотрим проводник, у которого при отсутствии внешнего электрического поля занятые состояния электронов в -пространстве будут ограничены поверхностью Ферми, которую для простоты будем считать сферой, не пересекающей границы первой зоны Бриллюэна (см. рис. 4.9).

Рис. 4.9. Изменение распределения электронов по состояниям при воздействии на проводник внешней силой со стороны электрического поля

     При появлении внешнего поля на электроны будет действовать сила . Они начнут ускоряться в соответствии со вторым законом Ньютона:

     

.

(4.16)

     Электроны через время приобретут дополнительную скорость:

     

.

(4.17)

     Можно считать, что распределение электронов по состояниям, изображенное на рис. 4.9, как бы сместиться на некоторое расстояние. Очевидно, что через достаточно большое время скорость электронов и смещение распределения электронов на рис. 4.9 могут стать очень большими. Однако, необходимо учитывать столкновения электронов как друг с другом, так и с различными препятствиями.

     Совершенная кристаллическая решетка, согласно разд.4.1, не может быть препятствием для движения электронов с волновыми векторами, не попадающими на границы зон Бриллюэна. Электрон может сталкиваться лишь с другими электронами и с различными несовершенствами (дефектами) кристаллической решетки, которые принято разделять на динамические и статические.

     К динамическим дефектам относятся, например, фононы и магноны; взаимодействие электрона с ними напоминает столкновение с движущейся частицей, отсюда и их название. На самом же деле движущийся фонон искажает кристаллическую решетку (см. разд. 3.1), и электрон отклоняется искаженным ее участком.

     К статическим дефектам относятся все дефекты кристаллической решетки, рассмотренные в главе 2; взаимодействие электрона с ними напоминает столкновение с покоящейся (статической) частицей, отсюда и такое название. Концентрация динамических дефектов возрастает при увеличении температуры, а статических дефектов - приблизительно остается постоянной.

     Из-за столкновений электрон будет ускоряться какое-то среднее время , называемое временем релаксации, после чего произойдет столкновение, скорость электрона изменится и примет случайное, в среднем равное нулю значение. За время до столкновения электрон приобретет среднюю скорость направленного движения, называемую дрейфовой скоростью, равную:

     

.

(4.18)

     Это обеспечит протекание тока плотности:

     

.

(4.19)

     Вспомнив закон Ома: , получаем для коэффициента электропроводности выражение:

     

.

(4.20)

     Для удельного сопротивления получается выражение:

     

.

(4.21)

     Через обозначена средняя частота столкновений электрона.

     Для анализа зависимости необходимо рассмотреть зависимость от температуры и концентрации дефектов.

     Можно считать, что динамические и статические дефекты при не слишком больших их концентрациях воздействуют на движущиеся электроны независимо друг от друга. Тогда можно считать частоту столкновений электрона с дефектами состоящей из двух слагаемых:

     

.

(4.22)

     Первое слагаемое не зависит от температуры. Второе слагаемое зависит: во-первых, от концентрации фононов и от механизмов столкновений электронов с фононами, во-вторых, от столкновений электронов друг с другом.

Рис. 4.10a. Схема столкновений двух электронов друг с другом. Стрелками обозначены волновые векторы двух электронов до (1 и 2) и после (3 и 4) столкновения друг с другом

Рис. 4.10б. Схема столкновений двух электронов друг с другом. Стрелками обозначены волновые векторы двух электронов до (1 и 2) и после (3 и 4) столкновения друг с другом

     При столкновениях электронов друг с другом необходимо учитывать законы сохранения энергии, импульса и принцип Паули. Принцип Паули приводит к дополнительным значительным ограничениям на волновые векторы электронов после столкновения: электрон должен оказаться в состоянии, не занятом другими электронами. Как уже отмечалось выше, при всех температурах до температур плавления в проводниках заняты (с вероятностью очень близкой к единице) практически все состояния с энергией меньшей энергии Ферми на величину порядка нескольких . Таких занятых состояний, находящихся на рис. 4.10 внутри самой малой сферы, - значительное большинство, и именно в них не может оказаться электрон после столкновения; из-за чего столкновения не происходят, даже если они разрешены законами сохранения энергии и импульса.

     Процессы, изображенные на рис. 4.10а (слева), возможны, так как для них выполнены закон сохранения энергии и импульса и обеспечено выполнение принципа Паули). Процессы, изображенные на рис. 4.10а (справа), - невозможны, поскольку состояние 4 занято и электрон после столкновения не может в нем оказаться. Крайне маловероятны и процессы изображенные на рис. 4.10б (слева), хотя состояния 3 и 4 свободны; для их осуществления потребуется дополнительная энергия намного превосходящая (суммарная энергия электронов в состояниях 3 и 4 значительно превосходит суммарную энергию электронов в состояниях 1 и 2). Поэтому в процессах столкновений участвуют только электроны, волновые векторы которых находятся только в очень тонком слое вблизи поверхности Ферми (см. рис. 4.10а (слева)). И из этой малой доли электронов не все смогут сталкиваться из-за ограничений, налагаемых законом сохранения импульса. Например, столкновения электронов с волновыми векторами, отмеченными на рис. 4.10б (справа), невозможны из-за невыполнения закона сохранения импульса. По этим причинам электроны, находящиеся в металле на малых расстояниях порядка межатомных и быстро двигающиеся, сталкиваются тем не менее сравнительно редко. Результатом этого является очень большая длина свободного пробега электронов, достигающая (см. задачу 4.3) иногда десятков и сотен тысяч межатомных расстояний. Как показывают расчеты и анализ опытных данных, столкновения электронов с фононами - более частые, чем электронов с электронами.

     Рассмотрим поэтому подробнее столкновения электронов с фононами, поскольку они более частые и обеспечивают главный вклад в электросопротивление. Число фононов при температурах порядка комнатной пропорционально температуре (см. разд. 3.3); поэтому считают, что частота столкновений электронов с фононами пропорциональна температуре. Согласно

вклад в электросопротивление от динамических дефектов окажется также пропорциональным температуре. Экспериментальные данные (см. рис. 4.11) хорошо подтверждают этот вывод.

     Зависимость удельного сопротивления от температуры характеризуют величиной температурного коэффициента сопротивления: . Заметим, что при одной и той же температуре величина , вычисленная по данным рис. 4.11 для сплавов разного состава, оказывается различной, поскольку равна отношению тангенса наклона кривой (они приблизительно одинаковы для всех кривых) к величине , разной для сплавов разного состава (см. задачу 4.2). По этой причине для сплавов с большим вкладом статических дефектов в удельное сопротивление величина оказывается очень малой.

Рис. 4.11. Температурные зависимости удельного сопротивления меди и сплавов медь-никель

     По кривым, изображенным на рис. 4.11, видно, что вклады в удельное сопротивление проводника от динамических и статических дефектов можно считать аддитивными. Концентрация статических дефектов и связанное с ней удельное сопротивление проводника при температуре вблизи абсолютного нуля пропорциональны концентрации атомов примеси.

     В технике особо широко используются материалы с наименьшими и наибольшими значениями . Первые необходимы для создания наиболее компактных и экономичных проводов и электротехнических изделий, а вторые - для различных нагревателей и датчиков.

     Проводники с наименьшим сопротивлением. Для создания таких материалов обеспечивают минимальное количество дефектов. Для уменьшения концентрации статических дефектов используют наиболее чистые металлы, и их дополнительный отжиг, способствующий уменьшению концентрации - "залечиванию" дефектов и уменьшению (см. рис. 4.11). Для уменьшения концентрации динамических дефектов желательно применять охлаждение проводников, однако это обычно не выгодно экономически; поэтому ограничиваются обычно борьбой с перегревом изделия, например с помощью обдува воздухом, циркуляции жидкости вокруг или внутри проводов.

     В качестве наиболее эффективных проводников чаще всего используют хорошо очищенные медь, алюминий или серебро.

     Проводники с наибольшим сопротивлением. Для создания таких проводников обеспечивают максимальное количество дефектов в материале. Для этого используют сплавы атомов сильно различающихся строением электронных оболочек, но хорошо смешиваемые друг с другом. В таком случае кристаллическая решетка состоит из беспорядочно чередующихся атомов, которые затрудняют движение электронов, сильно рассеивая их.

     Наиболее часто как материал с наибольшим сопротивлением используют сплав никеля с хромом (так называемый нихром), который обладает еще и хорошими антикоррозионными свойствами до температур порядка 1400 К.