9.3 Передаточные функции дискретных систем
9.3.1.Пример дискретной системы
Использование Z-преобразования для анализа дискретных систем во многом аналогично использованию преобразования Лапласа при анализе непрерывных систем. Необходимым этапом такого анализа является нахождение передаточной функции дискретной системы, которая определяется как отношение Z-преобразований выходного и входного процессов системы при нулевых начальных условиях в системе. Познакомимся с методикой определения передаточной функции дискретной системы на примере системы, изображённой на рис. 9.2.
Рис.9.2. Пример дискретной системы
На рисунке приведены следующие обозначения:
- дискриминационная
характеристика,
- импульсный
элемент,
- выходной процесс системы,
,
- коэффициенты передачи звеньев.
На выходе импульсного элемента формируется напряжение:
При подаче его на вход фильтра с коэффициентом передачи на его выходе образуется процесс:
,
где
- импульсная переходная функция фильтра.
По теореме свёртки и равенству имеем:
,
где
- изображение
импульсной переходной функции
,
совпадающей с Z-
изображением передаточной функции
,
связанной с
преобразованием Лапласа.
Ошибка слежения в рассматриваемой системе равна:
где
- Z-изображение
процессов
и
,
,
где
-
z-
изображение функции
,
являющейся передаточной функцией
приведённой непрерывной части системы.
Из формул
и
имеем:
.
Подставив это
выражение в формулу для
,
получим:
.
Отсюда следует, что искомая передаточная функция рассматриваемой замкнутой дискретной системы описывается соотношением:
.
При анализе ошибок
слежения в тактовых точках используется
передаточная функция
,
связывающая z-
изображения воздействия
и ошибки слежения
.
Так как
,
то
.
9.3.2.Разностные уравнения
Знание передаточной
функции дискретной системы позволяет
описать связь между дискретными
процессами на её входе и выходе с помощью
разностного уравнения. Чтобы получить
это уравнение, представим передаточную
функцию
системы в виде дробно-рациональной
функции переменной
:
.
Подставив это выражение
в уравнение
,
запишем:
.
Применим теорему
обращения к обеим частям этого уравнения.
Используя первую теорему смещения и
полагая, что
при
получаем:
,
где введены обозначения
,
.
Решив это уравнение
относительно
,
представим его в виде:
.
Это выражение является
разностным уравнением, связывающим
значения выходного процесса
с его значениями в предшествующих
тактовых точках и значениями воздействия
в моменты времени
,
,
…,
.
9.3.3.Операторные коэффициенты передачи
Разностное уравнение
дискретной системы можно записать в
компактной форме, если использовать
операторный коэффициент передачи. Для
его получения введём оператор
,
действие которого на временную функцию
приводит к её сдвигу по времени на
величину
.
При этом выполняются следующие
соотношения:
Тогда разностное уравнение записывается в виде:
,
где
- операторный
коэффициент передачи дискретной системы.
9.3.4.Комплексные коэффициенты передачи дискретной системы
Если
- передаточная функция и
,
то
.
Физический смысл
комплексного коэффициента передачи
дискретной системы заключается в
следующем. На вход дискретной системы
подаётся воздействие
.
Возникающий при этом в установившемся
режиме выходной процесс
показан сплошной линией на рис.9.3. Как
видно из рисунка выходной процесс
является несинусоидальным, но в точках
совпадает со значениями непрерывного
синусоидального процесса, имеющего
частоту
и комплексную амплитуду
.
Комплексный коэффициент передачи
дискретной системы равен отношению
комплексной амплитуды
к комплексной амплитуде
входного воздействия.
Рис.9.3. К понятию комплексного коэффициента передачи дискретной системы